Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para achar as assíntotas horizontais e verticais da função
e fazer um esboço do gráfico. Vamos usar teoria de polinômios (grau, domínio, comportamento em infinito), raízes, derivada para extremos e depois montar o desenho.
Passo 2
O domínio de
é todo o conjunto dos reais (polinômio não tem divisão por zero nem raiz par de número negativo). Portanto não existem assíntotas verticais, pois não há ponto de descontinuidade.
Passo 3
Como
é um polinômio de grau 3 (grau maior que zero), não há assíntotas horizontais. Polinômios de grau
crescem (ou decrescem) indefinidamente, sem convergir a uma reta horizontal.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, primeiro achamos as raízes de
. Fatorando:
Passo 5
As raízes vêm de
e de
, ou seja
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada para identificar extremos locais:
Passo 7
Resolvendo
temos
Passo 8
isto é
e
. Avaliando
nesses pontos:
Passo 9
Analisando o sinal de
, vê-se que em
há máximo local
e em
mínimo local
.
Passo 10
Por fim, o comportamento em infinito:
e
. O gráfico passa pelas raízes
, sobe até o máximo em
, depois desce até
e volta a subir.
Passo 11
Esboço: curva cúbica típica, saindo de baixo à esquerda, cruza em
, atinge máximo em
, cruza eixo
em
, desce para o min em
, cruza em
e cresce para cima à direita.
Resposta
Não existem assíntotas horizontais nem verticais para
. Esboço conforme descrito acima.