Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico: f(x)=x^3+x^2-5 x

Passo 1

O enunciado pede para achar as assíntotas horizontais e verticais da função f(x)=x^3+x^2-5x e fazer um esboço do gráfico. Vamos usar teoria de polinômios (grau, domínio, comportamento em infinito), raízes, derivada para extremos e depois montar o desenho.

Passo 2

O domínio de f(x) é todo o conjunto dos reais (polinômio não tem divisão por zero nem raiz par de número negativo). Portanto não existem assíntotas verticais, pois não há ponto de descontinuidade.

Passo 3

Como f(x) é um polinômio de grau 3 (grau maior que zero), não há assíntotas horizontais. Polinômios de grau n>0 crescem (ou decrescem) indefinidamente, sem convergir a uma reta horizontal.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, primeiro achamos as raízes de f(x)=0. Fatorando:
f(x)=x(x^2+x-5)=0

Passo 5

As raízes vêm de x=0 e de x^2+x-5=0, ou seja
x=-1pmraiz1+202=-1pmraiz212approx -2,79 e 1,79

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada para identificar extremos locais:
f'(x)=3x^2+2x-5

Passo 7

Resolvendo 3x^2+2x-5=0 temos
x=-2pmraiz4+606=-2pm86,

Passo 8

isto é x=1 e x=-5/3approx-1,67. Avaliando f nesses pontos:
f(1)=1+1-5=-3,
f(-5/3)=-12527+259+253=-125+75+22527=17527approx6,48

Passo 9

Analisando o sinal de f'(x), vê-se que em x=-5/3 há máximo local (xapprox-1,67,,yapprox6,48) e em x=1 mínimo local (1,-3).

Passo 10

Por fim, o comportamento em infinito: limxto-inftyf(x)=-infty e limxto+inftyf(x)=+infty. O gráfico passa pelas raízes -2,79,0,1,79, sobe até o máximo em -1,67,6,48, depois desce até 1,-3 e volta a subir.

Passo 11

Esboço: curva cúbica típica, saindo de baixo à esquerda, cruza em xapprox-2,79, atinge máximo em -1,67,6,48, cruza eixo x em 0,0, desce para o min em 1,-3, cruza em 1,79,0 e cresce para cima à direita.

Resposta

Não existem assíntotas horizontais nem verticais para f(x)=x^3+x^2-5x. Esboço conforme descrito acima.

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