Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico: f(x)=x^4-2 x^3

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais de f(x)=x^4-2x^3 e um esboço do gráfico. Vamos usar domínio, limites em xtopminfty e derivadas para entender a forma da curva.

Passo 2

Como f é um polinômio, o domínio é R (todos os reais). Logo não há pontos de descontinuidade nem assíntotas verticais.

Passo 3

Para achar assíntotas horizontais, calculamos os limites em infinito: como o termo dominante é x^4 com coeficiente positivo, temos
limxto+inftyf(x)=+infty,
limxto-inftyf(x)=+infty
Não há retas horizontais que se aproxime de f(x) nessas direções, portanto não há assíntotas horizontais.

Passo 4

Para esboçar, calculamos a derivada
f'(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)
Os pontos críticos são as raízes de f': x=0 (multiplicidade 2) e x=3/2.

Passo 5

Analisando o sinal de f': como 2x^2>=0 sempre, o sinal vem de 2x-3. Para x<3/2, f'<0 (decrescente); para x>3/2, f'>0 (crescente). Em x=0 não há troca de sinal, é ponto de inflexão; em x=3/2 há mínimo. Calculamos valores:
f(0)=0,
f(3/2)=l(tfrac32r)^4-2l(tfrac32r)^3=tfrac8116-tfrac274= -tfrac2716

Passo 6

O esboço: para xto-infty, f(x)to+infty decrescendo até passar em (0,0), continuar decrescendo até o mínimo em (3/2,-27/16), depois crescer para +infty.

Resposta

Não existem assíntotas horizontais nem verticais. O gráfico de f(x)=x^4-2x^3 sobe para +infty em ambos os extremos, decresce monotonamente até um mínimo local em l(3/2,-27/16r) e depois cresce para +infty.

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