Resolva log 3(2 x-1)-log 3(5 x+3)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação log 3(2 x-1) - log 3(5 x+3) = -1. Aqui, estamos lidando com logaritmos, especificamente logaritmos de base 3. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a equação e depois resolver para $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante dos logaritmos: a diferença de logaritmos é igual ao logaritmo do quociente. Ou seja,
logb A - logb B = logb ( AB )
Aplicando isso à nossa equação, temos:
log 3(2 x-1) - log 3(5 x+3) = log 3 ( 2x - 15x + 3 )
Então, a equação fica:
log 3 ( 2x - 15x + 3 ) = -1

Passo 3

Agora, vamos usar a definição de logaritmo para transformar essa equação logarítmica em uma equação exponencial. A definição diz que:
logb A = C Rightarrow A = b^C
Aplicando isso à nossa equação:
2x - 15x + 3 = 3^-1
Sabemos que $ 3^{-1} = \frac{1}{3} $, então:
3^-1 = 13

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação fracionária. Para isso, fazemos uma regra de três simples. Multiplicamos cruzado:
(2x - 1) times 3 = (5x + 3) times 1
Simplificando:
6x - 3 = 5x + 3

Passo 5

Vamos resolver para $ x $. Primeiro, subtraímos $ 5x $ de ambos os lados:
x
5x
Em seguida, adicionamos 3 em ambos os lados:
6x - 5x - 3 = 3

Passo 6

Antes de finalizar, é importante verificar se o valor encontrado para $ x $ satisfaz as condições dos logaritmos. As expressões dentro dos logaritmos devem ser positivas:
x
2x - 1 > 0 Rightarrow 2(6) - 1 = 12 - 1 = 11 > 0
Como ambas as condições são verdadeiras, $ x = 6 $ é uma solução válida.

Resposta

x = 6

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