Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico: f(x)=ll3(x-2)^2 & se x <= 2 (2-x)^3 & se 2

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais da função por partes
f(x)=3(x-2)^2 & x<=2(2-x)^3 & x>2
e também um esboço do gráfico. Vamos usar conceitos de domínio, limites em pontos críticos e em +infty e -infty.

Passo 2

O domínio de f é todo o conjunto dos reais. Para assíntotas verticais, buscamos pontos onde a função deixe de estar definida ou tenda a infinito num ponto finito. Aqui não há descontinuidade nem divisão por zero. Em x=2 temos continuidade, pois
limxto2^-f(x)=3(2-2)^2=0
limxto2^+f(x)=(2-2)^3=0
logo não há assíntota vertical.

Passo 3

Para assíntotas horizontais, analisamos os limites em infinito:
limxto-inftyf(x)=limxto-infty3(x-2)^2=+infty
limxto+inftyf(x)=limxto+infty(2-x)^3=-infty
Como nenhum desses limites é um número finito, não existem assíntotas horizontais.

Passo 4

Antes de esboçar, note que em x=2 ambas as derivadas laterais são zero:
Para x<2: f'(x)=6(x-2) f'(2^-)=0.
Para x>2: f'(x)=-3(2-x)^2 f'(2^+)=0.
Isso indica união suave dos dois ramos no ponto (2,0).

Passo 5

O esboço fica assim:
  • Para x<=2: é a parábola com coeficiente positivo, vértice em (2,0) e crescendo para a esquerda.
  • Para x>2: é um cubo invertido (2-x)^3, também com ponto de inflexão em (2,0), decrescendo para valores negativos quando x>2.
    O gráfico não se aproxima de nenhuma reta nas infinitudes.

Passo 6

Finalizando: não há nem assíntotas verticais nem horizontais.

Resposta

Não há assíntotas horizontais nem verticais.

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