Ache as assintotas horizontal e vertical do gráfico da função e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
A função é dada por
f(x)=sen
x se 0<x<π/2 e f(x)=sen
(x−π/2) se π/2<x≤π.
O conteúdo envolve assíntotas e esboço de gráficos de funções trigonométricas.
f(x)=sen
x se 0<x<π/2 e f(x)=sen
(x−π/2) se π/2<x≤π.
O conteúdo envolve assíntotas e esboço de gráficos de funções trigonométricas.
Passo 2
Para achar assíntotas verticais, procuramos pontos onde f não esteja definida e onde o valor tende a ±∞. Aqui a função está definida em (0,π/2)∪(π/2,π], sem denominações que possam estourar. Logo, não há assíntotas verticais.
Passo 3
Para achar assíntotas horizontais, analisamos limites em x→±∞. Como o domínio é limitado a (0,π], não há comportamento em infinito e, portanto, não há assíntotas horizontais.
Passo 4
No intervalo 0<x<π/2 temos f(x)=sen
x. Esse ramo é o seno comum, que vai de (0,0) até (π/2,1), ambos sem incluir os pontos. Esboçamos a curva crescente de seno nesse intervalo.
x. Esse ramo é o seno comum, que vai de (0,0) até (π/2,1), ambos sem incluir os pontos. Esboçamos a curva crescente de seno nesse intervalo.
Passo 5
No intervalo π/2<x≤π temos f(x)=sen
(x−π/2). Usamos a identidade sen
(x−π/2)=−cos
x. Esse ramo vai de x=π/2 (−cos
(π/2)=0) até x=π (−cos
π=1). O ponto em (π/2,0) é aberto e em (π,1) é fechado.
(x−π/2). Usamos a identidade sen
(x−π/2)=−cos
x. Esse ramo vai de x=π/2 (−cos
(π/2)=0) até x=π (−cos
π=1). O ponto em (π/2,0) é aberto e em (π,1) é fechado.
Passo 6
Observamos uma descontinuidade em x=π/2: à esquerda f→1 e à direita f→0, caracterizando um salto no gráfico.
Resposta
Não existem assíntotas nem horizontais nem verticais. O esboço do gráfico é feito unindo dois ramos:
— Para 0<x<π/2: curva de f(x)=senx de (0,0) aberto a (π/2,1) aberto.
— Para π/2<x≤π: curva de f(x)=−cosx de (π/2,0) aberto a (π,1) fechado.
— Para 0<x<π/2: curva de f(x)=senx de (0,0) aberto a (π/2,1) aberto.
— Para π/2<x≤π: curva de f(x)=−cosx de (π/2,0) aberto a (π,1) fechado.