Determine:
(a) a equação da esfera de raio 4 centrada em (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma esfera que tem raio 4 e está centrada no ponto (0, 0, 1). Vamos usar conceitos de geometria espacial, mais especificamente sobre esferas, e a fórmula geral que descreve uma esfera no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula geral da equação de uma esfera. A equação de uma esfera com centro nas coordenadas (h, k, l) e raio r é dada por:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
Nessa fórmula, (h, k, l) são as coordenadas do centro da esfera, e r é o raio.

Passo 3

No nosso caso, o centro da esfera é (0, 0, 1) e o raio é 4. Vamos identificar esses valores na fórmula:
h = 0, k = 0, l = 1, r = 4

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula geral da esfera:
(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 1)^2 = 4^2
Simplificando, fica:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 16

Resposta

A equação da esfera é:
x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 16

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