Ache as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de
, para as funções reais indicadas abaixo:
Passo 1
Aqui temos a função $ f(x) = \frac{x+1}{x^{2}-1} $. Nosso objetivo é encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa função. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender o comportamento da função em diferentes valores de $ x $.
Passo 2
Assíntotas Verticais: Essas assíntotas acontecem onde o denominador da fração é zero, mas o numerador não zera nesse mesmo ponto. Então, vamos resolver $ x^{2} - 1 = 0 $:
Agora, verificamos o numerador em $ x = 1 $ e $ x = -1 $:
- Para $ x = 1 $:
Então, $ x = 1 $ é uma assíntota vertical.
- Para $ x = -1 $:
Como tanto o numerador quanto o denominador são zero em $ x = -1 $, não temos uma assíntota vertical nesse ponto.
Passo 3
Assíntotas Horizontais: Essas assíntotas mostram o comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito ou menos infinito. Para funções racionais, comparamos os graus do numerador e do denominador:
- Grau do numerador: 1
- Grau do denominador: 2
Como o grau do denominador é maior, a assíntota horizontal será $ y = 0 $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x+1}{x^{2}-1} $ possui uma assíntota vertical em $ x = 1 $ e uma assíntota horizontal em $ y = 0 $.