Ache as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de f, para as funções reais indicadas abaixo:
f(x)=x+1x^2-1

Passo 1

Aqui temos a função $ f(x) = \frac{x+1}{x^{2}-1} $. Nosso objetivo é encontrar as assíntotas verticais e horizontais dessa função. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender o comportamento da função em diferentes valores de $ x $.

Passo 2

Assíntotas Verticais: Essas assíntotas acontecem onde o denominador da fração é zero, mas o numerador não zera nesse mesmo ponto. Então, vamos resolver $ x^{2} - 1 = 0 $:
x^2 - 1 = 0
Agora, verificamos o numerador em $ x = 1 $ e $ x = -1 $:
  • Para $ x = 1 $:
x^2 - 1 = 0 x^2 = 1 x = pm1
Então, $ x = 1 $ é uma assíntota vertical.
  • Para $ x = -1 $:
x = 1
Como tanto o numerador quanto o denominador são zero em $ x = -1 $, não temos uma assíntota vertical nesse ponto.

Passo 3

Assíntotas Horizontais: Essas assíntotas mostram o comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito ou menos infinito. Para funções racionais, comparamos os graus do numerador e do denominador:
  • Grau do numerador: 1
  • Grau do denominador: 2
Como o grau do denominador é maior, a assíntota horizontal será $ y = 0 $.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x+1}{x^{2}-1} $ possui uma assíntota vertical em $ x = 1 $ e uma assíntota horizontal em $ y = 0 $.

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