Exercício 3. Utilize o Método da Variação do Parâmetros para encontrar a solução geral das EDOs abaixo
x^2 y^prime prime+x y^prime-4 y=1x^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar a solução geral da equação não homogênea
x^{2}y’’ + x y’ - 4y = \frac{1}{x^{2}} usando o método da variação de parâmetros. O conteúdo aqui é uma equação de Cauchy–Euler e depois aplicamos variação de parâmetros para obter a parte particular.

Passo 2

Para começar, resolvemos a equação homogênea associada
x^{2}y’’ + x y’ - 4y = 0 assumindo uma solução do tipo y = x^{m}. Substituindo na equação, vem:
$$
m(m-1)x^{m} + m x^{m} - 4 x^{m} = 0 m(m-1)x^m + m x^m - 4 x^m = 0
m^{2} - 4 = 0 m^2 - 4 = 0 çõã
y_{1}(x) = x^{2}, \quad y_{2}(x) = x^{-2}. $$

Passo 3

Transformamos a equação original para a forma padrão dividindo tudo por x^{2}:
y'' + 1xy' - 4x^2y = 1x^4
Aqui identificamos p(x)=1/x, q(x)=-4/x^{2} e g(x)=1/x^{4}, prontos para variação de parâmetros.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano W(x) das duas soluções homogêneas:
W = y1 & y2 y'1 & y'2 = x^2cdot(-2x^-3) - (2x)cdot x^-2 = -2x^-1 - 2x^-1 = -4x

Passo 5

Pela fórmula de variação de parâmetros, definimos
u1' = -y2(x),g(x)W(x), u2' = y1(x),g(x)W(x)
Substituindo os valores:
u1' = -x^-2cdot x^-4-4/x = x^-54, u2' = x^2cdot x^-4-4/x = -x^-14

Passo 6

Integramos para achar u_{1} e u_{2}:
u1(x) = integral x^-54,dx = -116x^-4 + Ca, u2(x) = integral l(-x^-14r)dx = -14ln|x| + Cb
Como só precisamos de uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração C_{a},C_{b}.

Passo 7

A solução particular monta-se como
yp(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) = l(-116x^-4r)x^2 + l(-14ln|x|r)x^-2 = -116x^-2 - ln|x|4x^2

Passo 8

A solução geral é a soma da homogênea com a parte particular:
y(x) = C1x^2 + C2x^-2 - 116x^2 - ln|x|4x^2

Passo 9

Opcionalmente, dá para juntar os termos em 1/x^{2}:
y(x) = C1x^2 + C2x^-2 - 1 + 4ln|x|16x^2

Resposta

y(x) = C_{1}x^{2} + C_{2}x^{-2} - \frac{1}{16x^{2}} - \frac{\ln|x|}{4x^{2}}

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