Exercício 3. Utilize o Método da Variação do Parâmetros para encontrar a solução geral das EDOs abaixo
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar a solução geral da equação não homogênea
x^{2}y’’ + x y’ - 4y = \frac{1}{x^{2}} usando o método da variação de parâmetros. O conteúdo aqui é uma equação de Cauchy–Euler e depois aplicamos variação de parâmetros para obter a parte particular.
x^{2}y’’ + x y’ - 4y = \frac{1}{x^{2}} usando o método da variação de parâmetros. O conteúdo aqui é uma equação de Cauchy–Euler e depois aplicamos variação de parâmetros para obter a parte particular.
Passo 2
Para começar, resolvemos a equação homogênea associada
x^{2}y’’ + x y’ - 4y = 0 assumindo uma solução do tipo y = x^{m}. Substituindo na equação, vem:
x^{2}y’’ + x y’ - 4y = 0 assumindo uma solução do tipo y = x^{m}. Substituindo na equação, vem:
$$
m(m-1)x^{m} + m x^{m} - 4 x^{m} = 0
m^{2} - 4 = 0
y_{1}(x) = x^{2}, \quad y_{2}(x) = x^{-2}. $$
Passo 3
Transformamos a equação original para a forma padrão dividindo tudo por x^{2}:
Aqui identificamos p(x)=1/x, q(x)=-4/x^{2} e g(x)=1/x^{4}, prontos para variação de parâmetros.
Passo 4
Calculamos o Wronskiano W(x) das duas soluções homogêneas:
Passo 5
Pela fórmula de variação de parâmetros, definimos
Substituindo os valores:
Passo 6
Integramos para achar u_{1} e u_{2}:
Como só precisamos de uma solução particular, podemos ignorar as constantes de integração C_{a},C_{b}.
Passo 7
A solução particular monta-se como
Passo 8
A solução geral é a soma da homogênea com a parte particular:
Passo 9
Opcionalmente, dá para juntar os termos em 1/x^{2}:
Resposta
y(x) = C_{1}x^{2} + C_{2}x^{-2} - \frac{1}{16x^{2}} - \frac{\ln|x|}{4x^{2}}