Ache os auto-valores do operador f, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
f(x, y)=(x+2 y,-x+4 y)

Passo 1

O enunciado define o operador linear fcolonR^2toR^2 por
f(x,y) = (,x+2y,,-x+4y,)
O objetivo é encontrar os auto-valores (eigenvalues) lambda, os subespaços próprios (eigenspaces) correspondentes e, para cada lambda, a multiplicidade algébrica e geométrica. Para isso, vamos:
1. Representar f pela matriz A na base canônica.
2. Calcular o polinômio característico chi(lambda)=det(A-lambda I) para achar os valores de lambda.
3. Para cada lambda, resolver (A-lambda I)v=0 para obter o eigenspace e suas dimensões.

Passo 2

Na base canônica e1,e2, a matriz de f é
A = 1 & 2 -1 & 4
Os auto-valores satisfazem det(A-lambda I)=0.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico:
chi(lambda) = det! 1-lambda & 2 -1 & 4-lambda = (1-lambda)(4-lambda) - (-1)cdot2 = lambda^2 -5lambda +6
Resolvendo lambda^2 -5lambda +6=0 obtemos
lambda1 = 2, lambda2 = 3
Cada raiz é simples, logo a multiplicidade algébrica de 2 e de 3 vale 1.

Passo 4

Para lambda1=2, formamos A-2I:
A-2I = -1 & 2 -1 & 2
Resolvendo (A-2I)(x,y)=0 -x+2y=0, ou seja x=2y.
Portanto o eigenspace é
E2 = (2y,y)mid yinR = span(2,1)
Como gera-se por um vetor não-nulo, a multiplicidade geométrica de lambda1=2 é 1.

Passo 5

Para lambda2=3, formamos A-3I:
A-3I = -2 & 2 -1 & 1
Resolvendo (A-3I)(x,y)=0 -2x+2y=0, ou seja y=x.
Logo o eigenspace é
E3 = (x,x)mid xinR = span(1,1)
Também aqui a multiplicidade geométrica de lambda2=3 é 1.

Resposta

Auto-valores e subespaços próprios:
lambda1 = 2, E2 = span(2,1), malg(2)=1, m>=o(2)=1;
lambda2 = 3, E3 = span(1,1), malg(3)=1, m>=o(3)=1

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