Determine a distância da reta r, definida pelas equações
r:lx=2+t y=-1+2 t z=3-t
ao plano pi: x+2 y-z=5.

Passo 1

Estamos precisando calcular a distância entre a reta
r: x=2+t, y=-1+2t, z=3-t
e o plano
pi: x + 2y - z = 5
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para achar essa distância, primeiro verificamos se a reta é paralela ao plano. Se não for paralela, ela cruza o plano e a distância é zero; se for paralela, usaríamos a fórmula da distância de um ponto qualquer da reta ao plano.

Passo 2

Vamos identificar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
O vetor diretor de r é u = (1,2,-1) e o vetor normal de pi é n = (1,2,-1). Para saber se a reta é paralela ao plano, calculamos o produto escalar
ncdot u = 1cdot1 + 2cdot2 + (-1)cdot(-1) = 1 + 4 + 1 = 6
Como ncdotuneq 0, a reta não é paralela ao plano.

Passo 3

Quando ncdotuneq0, a reta corta o plano em exatamente um ponto. Para ver isso, podemos achar o parâmetro t que torna o ponto genérico da reta (2+t,,-1+2t,,3-t) uma solução da equação do plano. Substituindo em x+2y-z=5:
(2+t) + 2(-1+2t) - (3-t) = 5 Longrightarrow 2+t -2 +4t -3 + t = 5 Longrightarrow 6t -3 = 5 Longrightarrow t = 86 = 43
Isso confirma que existe interseção única.

Passo 4

Como a reta intersecta o plano, a menor distância entre eles é zero.

Resposta

A distância entre a reta r e o plano pi é 0.

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