Ache os autovalores e autovetores de cada matriz:
A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -4 & 14 \\\\ 2 & -7 & 14 \\\\ 2 & -4 & 11\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} -1 & -4 & 14\\\\ 2 & -7 & 14\\\\ 2 & -4 & 11 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado é Álgebra Linear: primeiro calculamos o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 para encontrar os autovalores \lambda, depois resolvemos (A - \lambda I)v=0 para cada \lambda de modo a obter os autovetores v.

Passo 2

Montamos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} -1-\lambda & -4 & 14\\\\ 2 & -7-\lambda & 14\\\\ 2 & -4 & 11-\lambda \end{pmatrix}
e calculamos o determinante. Após expansão por cofatores e simplificações chega-se ao polinômio
\det(A - \lambda I) \;=\; \lambda^3 \;-\;3\lambda^2\;-\;45\lambda\;-\;81\;=\;0.

Passo 3

Para resolver
\lambda^3 - 3\lambda^2 - 45\lambda - 81 = 0
testamos \lambda = -3 e verificamos que é raiz. Fazendo a divisão polinomial por (\lambda + 3) obtemos
(\lambda + 3)(\lambda^2 -6\lambda -27) = 0
e dessa forma
\lambda^2 -6\lambda -27 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 +108}}{2} = \frac{6 \pm 12}{2},
logo as raízes são \lambda = -3 (multiplicidade 2) e \lambda = 9.

Passo 4

Para \lambda = 9 resolvemos
(A - 9I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -10 & -4 & 14\\\\ 2 & -16 & 14\\\\ 2 & -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
As equações equivalem a
5x + 2y - 7z = 0, \quad x -8y +7z = 0, \quad x -2y + z = 0,
que levam a y=z e x=z. Portanto todo autovetor associado a \lambda=9 é da forma
v = z\,(1,1,1), \quad z\neq 0.

Passo 5

Para \lambda = -3 resolvemos
(A + 3I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 2 & -4 & 14\\\\ 2 & -4 & 14\\\\ 2 & -4 & 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0,
cuja única equação não-trivial é
2x - 4y +14z = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2y - 7z.
Logo o espaço próprio é bidimensional, gerado por
(2,1,0) \quad\text{e}\quad (-7,0,1).

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\displaystyle \lambda_1 = 9, com espaço próprio \{\,t\,(1,1,1)\mid t\neq0\}.
\displaystyle \lambda_2 = -3 (multiplicidade 2), com espaço próprio \{\,s\,(2,1,0) + t\,(-7,0,1)\mid s,t\neq0\}.

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