Ache os autovalores e autovetores de cada matriz:
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal é o cálculo do polinômio característico \det(A - \lambda I) para obter os autovalores \lambda, e em seguida resolver (A - \lambda I)v = 0 para cada \lambda e achar o correspondente autovetor v.

Passo 2

Formamos a matriz A - \lambda I e escrevemos o determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 2\\\\ 1 & 2-\lambda & 1\\\\ 2 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix},
p(\lambda)=\det(A-\lambda I).

Passo 3

Calculamos p(\lambda) por expansão:
p(\lambda) =\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 2\\\\ 1 & 2-\lambda & 1\\\\ 2 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} =\lambda^3-4\lambda^2-\lambda+4.
Fatorando por agrupamento,
\lambda^3-4\lambda^2-\lambda+4 =(\lambda-4)(\lambda^2-1) =(\lambda-4)(\lambda-1)(\lambda+1).
Logo os autovalores são
\lambda_1=4,\quad \lambda_2=1,\quad \lambda_3=-1.

Passo 4

Para \lambda_1=4, resolvemos
(A-4I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -3 & 1 & 2\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Das equações vem z=x e y=x. Um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=1, resolvemos
(A-I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Dessa vez obtém-se y=-2z e x=z. Um autovetor é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda_3=-1, resolvemos
(A+I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 1 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0.
Aqui vem y=0 e z=-x. Um autovetor é
v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.

Resposta

\lambda_1 = 4,\; v_1 = (1,1,1)^\top
\lambda_2 = 1,\; v_2 = (1,-2,1)^\top
\lambda_3 = -1,\; v_3 = (1,0,-1)^\top

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