Ache os autovalores e autovetores de cada matriz:
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -3 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ -3 & 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -3\\\\ 0 & 3 & 0\\\\ -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo da matéria é autovalores e autovetores de matrizes quadradas. Para resolver, vamos primeiro calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 e então achar as raízes \lambda. Em seguida, para cada \lambda, resolveremos (A - \lambda I)x=0 para obter os autovetores.

Passo 2

Montamos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & -3\\\\ 0 & 3-\lambda & 0\\\\ -3 & 3 & 1-\lambda \end{pmatrix}
e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)\det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & 0\\\ 3 & 1-\lambda\end{pmatrix} +(-3)\det\!\begin{pmatrix}0 & 3-\lambda\\\ -3 & 3\end{pmatrix}.
O primeiro menor vale (3-\lambda)(1-\lambda) e o segundo vale 9-3\lambda. Logo,
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(3-\lambda)(1-\lambda)-3\,(9-3\lambda).
Expandindo e simplificando chega-se a
\det(A-\lambda I)=\lambda^3-5\lambda^2-2\lambda+24.

Passo 3

Buscamos raízes inteiras em \pm1,\pm2,\pm3,\dots. Testando \lambda=3 obtemos zero, então \lambda-3 é fator. Dividindo
\lambda^3-5\lambda^2-2\lambda+24 por \lambda-3
\lambda^2-2\lambda-8, que fatora em (\lambda-4)(\lambda+2).
Portanto os autovalores são
\lambda_1=3,\quad \lambda_2=4,\quad \lambda_3=-2.

Passo 4

Para cada \lambda resolvemos (A-\lambda I)x=0.
  1. \lambda_1=3:
    A-3I=\begin{pmatrix}-2&3&-3\\\ 0&0&0\\\ -3&3&-2\end{pmatrix},
    o sistema leva a y=\tfrac53\,z e x=z. Tomando z=3 fica
    \displaystyle v_1=(3,5,3)^T.
  2. \lambda_2=4:
    A-4I=\begin{pmatrix}-3&3&-3\\\ 0&-1&0\\\ -3&3&-3\end{pmatrix},
    leva a y=0 e x=-z. Tomando z=1 fica
    \displaystyle v_2=(-1,0,1)^T.
  3. \lambda_3=-2:
    A+2I=\begin{pmatrix}3&3&-3\\\ 0&5&0\\\ -3&3&3\end{pmatrix},
    leva a y=0 e z=x. Tomando x=1 fica
    \displaystyle v_3=(1,0,1)^T.

Resposta

Os autovalores e autovetores são:
\displaystyle \lambda_1=3,\quad v_1=(3,5,3)^T
\displaystyle \lambda_2=4,\quad v_2=(-1,0,1)^T
\displaystyle \lambda_3=-2,\quad v_3=(1,0,1)^T

Exercícios relacionados