Ache os autovalores e autovetores de cada transformação linear dada:
T: P_{2} \longrightarrow P_{2}, dada por T\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{2}+c x+b.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon P_{2}\to P_{2},\quad T\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr)=a x^{2}+c x+b.
O conteúdo envolve autovalores e autovetores de uma transformação linear. Para resolver, vamos representar T na base canônica \{x^{2},x,1\}, calcular seu polinômio característico e, em seguida, determinar os autovetores.

Passo 2

Seja p(x)=a x^{2}+b x+c com coordenadas \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}. Então
T(p)=a x^{2}+c x+b
corresponde ao vetor \begin{pmatrix}a\c\b\end{pmatrix}. Logo a matriz de T na base \{x^{2},x,1\} é
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico de M é
\det(M-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\\\ 0 & -\lambda & 1\\\\ 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-1\bigr).
Assim as raízes são
\lambda=1\quad(\text{multiplicidade }2), \qquad \lambda=-1\quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (M-I)v=0, o que impõe c=b sem restrição em a. Os autovetores têm coordenadas (a,b,b), ou seja, polinômios da forma
a x^{2}+b x+b.
Uma base do autoespaço é \{x^{2},\,x+1\}.
Para \lambda=-1 resolvemos (M+I)v=0, que dá a=0 e c=-b. Os autovetores têm coordenadas (0,b,-b), correspondendo a
b x - b = b(x-1).
Uma base do autoespaço é \{\,x-1\}.

Resposta

\lambda=1: autovetores de forma a x^{2}+b x+b, base \{x^{2},\,x+1\}.
\lambda=-1: autovetores de forma b(x-1), base \{x-1\}.

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