Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é valores próprios e vetores próprios de uma matriz quadrada. Para resolver, vamos calcular o polinômio característico de A e depois, para cada raiz \lambda, resolver (A - \lambda I)v = 0.

Passo 2

O polinômio característico é dado por
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\\\ 0 & -1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(-1-\lambda).

Passo 3

As raízes de (1-\lambda)(-1-\lambda)=0 são
\lambda_{1} = 1 \quad\text{e}\quad \lambda_{2} = -1.

Passo 4

Para \lambda_{1}=1 resolvemos
(A - I)v = \begin{pmatrix} 1-1 & 2\\\\ 0 & -1-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 2\\\ 0 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 2y=0, ou seja y=0. A segunda linha é redundante. Logo x é livre; escolhemos x=1. Um autovetor correspondente é
v_{1} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_{2}=-1 resolvemos
(A + I)v = \begin{pmatrix} 1+1 & 2\\\\ 0 & -1+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 2\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da única equação não trivial 2x+2y=0 vem x=-y. Tomando y=1, obtemos o autovetor
v_{2} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores são \lambda_{1}=1 e \lambda_{2}=-1.
Um autovetor associado a \lambda_{1}=1 é v_{1}=(1,0)^{T} e um autovetor associado a \lambda_{2}=-1 é v_{2}=(-1,1)^{T}.

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