Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -3 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ -3 & 3 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -3\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve cálculo de polinômio característico e solução de sistemas lineares homogêneos para cada valor de \lambda.

Passo 2

Calcular o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0. Temos
\det(A - \lambda I) =\begin{vmatrix} 1-\lambda & 3 & -3\\\\ 0 & 4-\lambda& 0\\\\ -3 & 3 & 1-\lambda \end{vmatrix} =(4-\lambda)\, \begin{vmatrix} 1-\lambda & -3\\\\ -3 & 1-\lambda \end{vmatrix}.
O menor determinante é
(1-\lambda)^2 - (-3)(-3) = (1-\lambda)^2 - 9 = \lambda^2 -2\lambda -8 = (\lambda-4)(\lambda+2).
Logo
\det(A - \lambda I) = (4-\lambda)\,(\lambda-4)\,(\lambda+2) = -(\lambda-4)^2(\lambda+2).

Passo 3

As raízes do polinômio característico são
\lambda=4\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda=-2\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 4

Para \lambda=4, resolvemos (A-4I)v=0.
A-4I = \begin{pmatrix} -3 & 3 & -3\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ -3 & 3 & -3 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad -3x+3y-3z=0 \;\Leftrightarrow\; x - y + z = 0.
Daí x = y - z. Um vetor genérico do espaço próprio é
v = (y-z,\,y,\,z) = y\,(1,1,0) + z\,(-1,0,1).
Assim o espaço próprio de \lambda=4 é gerado por \{(1,1,0),\,(-1,0,1)\}.

Passo 5

Para \lambda=-2\), resolvemos \((A+2I)v=0\). \[A+2I = \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3\\\\ 0 & 6 & 0\\\\ -3& 3 & 3 \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} 6y = 0,\\\\ 3x +3\cdot0 -3z = 0, \end{cases}
daí y=0\] e \(x=z. Um vetor genérico é
v = (x,0,x) = x\,(1,0,1).
Logo o espaço próprio de \lambda=-2 é gerado por \{(1,0,1)\}.

Resposta

\lambda=4 (multiplicidade 2), autovetores geradores: (1,1,0) e (-1,0,1).
\lambda=-2 (multiplicidade 1), autovetor gerador: (1,0,1).

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