Se \lambda é autovalor da transformação linear T: V \rightarrow V e v é um autovetor associado a ele, mostre que:
10- Suponha que \lambda_{1} e \lambda_{2} sejam autovalores distintos e diferentes de zero de T: R^{2} \rightarrow R^{2}. Mostre que
a) Os autovetores v_{1} e v_{2} correspondentes são LI;
b) T\left(v_{1}\right) e T\left(v_{2}\right) são LI.

Passo 1

O enunciado fala de uma transformação linear T\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 que tem dois autovalores distintos e não nulos \lambda_1 e \lambda_2, com autovetores associados v_1 e v_2. O que precisamos mostrar é:
a) v_1 e v_2 são linearmente independentes (LI).
b) T(v_1) e T(v_2) são LI.
Vamos usar a definição de independência linear e as propriedades de autovetores:
T(v_i)=\lambda_i\,v_i,\quad i=1,2.

Passo 2

Prova de (a): suponha que exista combinação linear que zere
\alpha\,v_1+\beta\,v_2=0.
Aplicando T a essa igualdade, obtém-se
T(\alpha v_1+\beta v_2) =\alpha\,T(v_1)+\beta\,T(v_2) =\alpha\,\lambda_1\,v_1+\beta\,\lambda_2\,v_2 =0.
Por outro lado, multiplico a combinação original por \lambda_2:
\lambda_2(\alpha v_1+\beta v_2) =\alpha\,\lambda_2\,v_1+\beta\,\lambda_2\,v_2 =0.
Subtraindo essa última da anterior, vem
0 =(\alpha\,\lambda_1\,v_1+\beta\,\lambda_2\,v_2) -(\alpha\,\lambda_2\,v_1+\beta\,\lambda_2\,v_2) =\alpha(\lambda_1-\lambda_2)\,v_1.
Como \lambda_1\neq\lambda_2 e v_1\neq0, segue \alpha=0.
Volta à \alpha v_1+\beta v_2=0 e conclui \beta=0.
Logo v_1 e v_2 são LI.

Passo 3

Prova de (b): observe que
T(v_1)=\lambda_1\,v_1, \quad T(v_2)=\lambda_2\,v_2,
com \lambda_1,\lambda_2\neq0. Suponha que exista
c\,T(v_1)+d\,T(v_2)=0.
Então
c\,\lambda_1\,v_1 + d\,\lambda_2\,v_2 = 0.
Como v_1 e v_2 já são LI, as únicas soluções são
c\,\lambda_1=0 \quad\Longrightarrow\quad c=0, \qquad d\,\lambda_2=0 \quad\Longrightarrow\quad d=0.
Portanto T(v_1) e T(v_2) também são LI.

Resposta

a) v_1 e v_2 são linearmente independentes.
b) T(v_1) e T(v_2) são linearmente independentes.

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