Se
é autovalor da transformação linear
e v é um autovetor associado a ele, mostre que:
10- Suponha que
sejam autovalores distintos e diferentes de zero de
. Mostre que
a) Os autovetores
correspondentes são LI;
b)
são LI.
10- Suponha que
a) Os autovetores
b)
Passo 1
O enunciado fala de uma transformação linear
que tem dois autovalores distintos e não nulos
e
, com autovetores associados
e
. O que precisamos mostrar é:
a) e
são linearmente independentes (LI).
b) e
são LI.
Vamos usar a definição de independência linear e as propriedades de autovetores:
a)
b)
Vamos usar a definição de independência linear e as propriedades de autovetores:
Passo 2
Prova de (a): suponha que exista combinação linear que zere
Aplicando
a essa igualdade, obtém-se
Por outro lado, multiplico a combinação original por
:
Subtraindo essa última da anterior, vem
Como
e
, segue
.
Volta à e conclui
.
Logo e
são LI.
Volta à
Logo
Passo 3
Prova de (b): observe que
com
. Suponha que exista
Então
Como
e
já são LI, as únicas soluções são
Portanto
e
também são LI.
Resposta
a)
e
são linearmente independentes.
b) e
são linearmente independentes.
b)