Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & -4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & -4 \\[6pt] 0 & 3 & 5 \\[6pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é autovalores (raízes do polinômio característico) e autovetores (solução de (A-\lambda I)v=0).]

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são justamente as entradas da diagonal. Logo, o polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda)
e os autovalores são
\lambda_1 = 3\quad(\text{multiplicidade }2), \quad \lambda_2 = -1\quad(\text{multiplicidade }1).

Passo 3

Para \lambda=3\) resolvemos \((A-3I)v=0\). Temos \[A-3I = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -4 \\[3pt] 0 & 0 & 5 \\[3pt] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix},
então o sistema é
\begin{cases} -3y -4z = 0,\\\\ 5z = 0,\\\\ -4z = 0. \end{cases}
Das últimas duas equações vem z=0\], daí também \(y=0. Sobrou x livre, então um autovetor é
v_{3} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \lambda=-1\) resolvemos \((A+I)v=0\). Aqui \[A+I = \begin{pmatrix} 4 & -3 & -4 \\[3pt] 0 & 4 & 5 \\[3pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que gera
\begin{cases} 4x -3y -4z = 0,\\\\ 4y +5z = 0. \end{cases}
Da segunda equação y = -\tfrac{5}{4}z\]. Substituindo na primeira, \[4x = 3y +4z = 3\bigl(-\tfrac{5}{4}z\bigr)+4z = \tfrac{1}{4}z \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{1}{16}z.\] Escolhendo \(z=16 para ter coordenadas inteiras, obtemos o autovetor
v_{-1} = \begin{pmatrix}1\\\ -20\\\ 16\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores e autovetores são:
(a) \lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) com autovetor
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
(b) \lambda=-1 com autovetor
\begin{pmatrix}1\\\ -20\\\ 16\end{pmatrix}.

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