Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & -4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] Passo 1O enunciado pede para achar os autovalores e autovetores da matriz A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & -4 \\[6pt] 0 & 3 & 5 \\[6pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}. O conteúdo aqui é autovalores (raízes do polinômio característico) e autovetores (solução de (A-\lambda I)v=0).] Passo 2Como A é triangular superior, seus autovalores são justamente as entradas da diagonal. Logo, o polinômio característico é \det(A - \lambda I) = (3-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda) e os autovalores são \lambda_1 = 3\quad(\text{multiplicidade }2), \quad \lambda_2 = -1\quad(\text{multiplicidade }1). Passo 3Para \lambda=3\) resolvemos \((A-3I)v=0\). Temos \[A-3I = \begin{pmatrix} 0 & -3 & -4 \\[3pt] 0 & 0 & 5 \\[3pt] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}, então o sistema é \begin{cases} -3y -4z = 0,\\\\ 5z = 0,\\\\ -4z = 0. \end{cases} Das últimas duas equações vem z=0\], daí também \(y=0. Sobrou x livre, então um autovetor é v_{3} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.] Passo 4Para \lambda=-1\) resolvemos \((A+I)v=0\). Aqui \[A+I = \begin{pmatrix} 4 & -3 & -4 \\[3pt] 0 & 4 & 5 \\[3pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, que gera \begin{cases} 4x -3y -4z = 0,\\\\ 4y +5z = 0. \end{cases} Da segunda equação y = -\tfrac{5}{4}z\]. Substituindo na primeira, \[4x = 3y +4z = 3\bigl(-\tfrac{5}{4}z\bigr)+4z = \tfrac{1}{4}z \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{1}{16}z.\] Escolhendo \(z=16 para ter coordenadas inteiras, obtemos o autovetor v_{-1} = \begin{pmatrix}1\\\ -20\\\ 16\end{pmatrix}.] RespostaOs autovalores e autovetores são: (a) \lambda=3 (multiplicidade algébrica 2) com autovetor \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. (b) \lambda=-1 com autovetor \begin{pmatrix}1\\\ -20\\\ 16\end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDê a equação da circunferência que passa pelos pontos P_{0}=(0,2), P_{1}=(2,4) e P_{2}=(4,2). Um fabricante de plástico produz dois tipos de plástico: o normal e o especial. Para produzir uma tonelada de plástico normal são necessárias duas horas na fábrica A e 5 horas na fábrica B; já na produção de uma tonelada de plástico especial são necessárias 2 horas na fábrica A e 3 horas na fábrica B. Se a fábrica A funciona 8 horas por dia e a fábrica B funciona 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de plástico devem ser produzidas diariamente para que as duas fábricas se mantenham totalmente ocupadas? Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A=\left[\begin{array}{rll}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right] Sejam \mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] e \mathbf{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] matrizes inversíveis. a) Calcule AB e BA e observe que estes produtos são distintos. b) Encontre os autovalores de \mathbf{A B} e os de \mathbf{B A}. O que você observa? c) Encontre os autovetores de \mathbf{A B} e os de \mathbf{B A}. 0 que você nota? d) Motivado pelos itens anteriores, mostre que: se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, os autovalores de \mathbf{A B} e \mathbf{B A} são os mesmos. Mostre mais ainda: se \lambda_{1} é um autovalor de \mathbf{A B} com autovetor \mathbf{v}, então \lambda_{1} é autovalor de BA com autovetor Bv. Da mesma forma, se \lambda_{2} é úm autovalor de BA com autovetor w, então \lambda_{2} é autovalor de AB com autovetor Aw.