Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
A=\left[\begin{array}{rll}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Para isso vamos:
1. Montar o polinômio característico \det(A-\lambda I).
2. Encontrar as raízes \lambda.
3. Resolver (A-\lambda I)x=0 em cada caso para achar os autovetores.

Passo 2

Calcular
\det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 2\\\\ -1 & -\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
(1-\lambda)\bigl[(-\lambda)(2-\lambda)-1\bigr] \;+\;2\bigl[(-1)\cdot1-(-\lambda)\cdot1\bigr].
A parte interna fica
(-\lambda)(2-\lambda)-1 = -2\lambda +\lambda^2 -1 \quad\text{e}\quad (-1)\cdot1-(-\lambda)\cdot1 = \lambda-1.
Logo
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(\lambda^2-2\lambda-1)+2(\lambda-1) =-\bigl(\lambda-3\bigr)\bigl(\lambda-1\bigr)\bigl(\lambda+1\bigr).

Passo 3

Igualando a zero, obtemos os autovalores
\lambda=3,\quad \lambda=1,\quad \lambda=-1.

Passo 4

Para \lambda=3\) resolvemos \((A-3I)x=0\). \[A-3I= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2\\\\ -1 & -3 & 1\\\\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix},
que gera o sistema
\begin{cases} -2x+2z=0,\\\\ -x-3y+z=0,\\\ x+y-z=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=z\]. Substituindo na segunda dá \(y=0. A terceira é redundante.
Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=1\) resolvemos \((A-I)x=0\). \[A-I= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2\\\\ -1 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
que produz
\begin{cases} 2z=0,\\\\ -\,x - y + z=0,\\\ x + y + z=0. \end{cases}
Da primeira equação vem z=0\]. Das outras segue \(x=-y.
Um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 6

Para \lambda=-1\) resolvemos \((A+I)x=0\). \[A+I= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix},
levando a
\begin{cases} 2x+2z=0,\\\\ -\,x + y + z=0,\\\ x + y + 3z=0. \end{cases}
Da primeira equação vem x=-z\]. Substituindo na segunda dá \(y=-2z. A terceira confirma isso.
Um autovetor associado é
v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Autovalores e autovetores de A:
\lambda_1 = 3,
\quad v_1 = (1,0,1)^T, \lambda_2 = 1,
\quad v_2 = (-1,1,0)^T, \lambda_3 = -1,
\quad v_3 = (-1,-2,1)^T

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