Sejam \mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] e \mathbf{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] matrizes inversíveis.
a) Calcule AB e BA e observe que estes produtos são distintos.
b) Encontre os autovalores de \mathbf{A B} e os de \mathbf{B A}. O que você observa?
c) Encontre os autovetores de \mathbf{A B} e os de \mathbf{B A}. 0 que você nota?
d) Motivado pelos itens anteriores, mostre que: se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, os autovalores de \mathbf{A B} e \mathbf{B A} são os mesmos. Mostre mais ainda: se \lambda_{1} é um autovalor de \mathbf{A B} com autovetor \mathbf{v}, então \lambda_{1} é autovalor de BA com autovetor Bv. Da mesma forma, se \lambda_{2} é úm autovalor de BA com autovetor w, então \lambda_{2} é autovalor de AB com autovetor Aw.

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e
B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e pede:
a) calcular AB e BA e notar que são diferentes;
b) achar os autovalores de AB e de BA e comparar;
c) achar os autovetores de AB e de BA e ver o que acontece;
d) provar em geral que, para matrizes inversíveis A e B, AB e BA têm os mesmos autovalores e que o mapeamento de autovetor usa B e A.

Passo 2

Calculamos
AB = A\,B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 4\\\\ 0 & -2 & 3\\\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 3

De modo similar,
BA = B\,A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ 0 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Comparando os dois resultados vemos que
AB = \begin{pmatrix}1&7&4\\\ 0&-2&3\\\ 0&0&-3\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}1&-1&3\\\ 0&-2&2\\\ 0&0&-3\end{pmatrix} = BA.

Passo 5

Como AB e BA são triangulares, seus autovalores são as entradas da diagonal. Logo ambos têm autovalores
\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = -2,\quad \lambda_3 = -3.

Passo 6

Concluímos que, embora AB\neq BA, eles têm o mesmo conjunto de autovalores \{1,-2,-3\}.

Passo 7

Resolvendo (AB-\lambda I)v=0 para cada \lambda obtemos autovetores (escolhendo escalações inteiras convenientes):
para \lambda_1=1 um autovetor é
v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
para \lambda_2=-2
v^{(2)} = \begin{pmatrix}-7\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix},
para \lambda_3=-3
v^{(3)} = \begin{pmatrix}17\\\ -12\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 8

De modo análogo, de (BA-\lambda I)w=0 vêm (novamente até escalação):
para \lambda_1=1
w^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
para \lambda_2=-2
w^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix},
para \lambda_3=-3
w^{(3)} = \begin{pmatrix}-5\\\ -8\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 9

Observamos que
B\,v^{(1)} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = w^{(1)},\quad B\,v^{(2)} = 2\;w^{(2)},\quad B\,v^{(3)} = 3\;w^{(3)},
ou seja, ao aplicar B a um autovetor v^{(i)} de AB obtemos (até escala) o autovetor correspondente de BA.

Passo 10

Em geral, se AB\,v=\lambda\,v e B é inversível então
BA\,(Bv) = B\,(AB)\,v = B\,(\lambda v) = \lambda\,(Bv),
portanto Bv é autovetor de BA associado a \lambda. Similarmente, se BA\,w=\mu\,w então
AB\,(Aw) = A\,(BA)\,w = A\,(\mu w) = \mu\,(Aw),
e Aw\neq0 é autovetor de AB com autovalor \mu.

Resposta

a)
AB = \begin{pmatrix}1&7&4\\\ 0&-2&3\\\ 0&0&-3\end{pmatrix},\quad BA = \begin{pmatrix}1&-1&3\\\ 0&-2&2\\\ 0&0&-3\end{pmatrix},
logo AB\neq BA.
b) Ambos têm autovalores \{1,-2,-3\}.
c) Autovetores de AB:
\,(1,0,0)^T,\;(-7,3,0)^T,\;(17,-12,4)^T,
de BA:
\,(1,0,0)^T,\;(1,3,0)^T,\;(-5,-8,4)^T.
Eles se correspondem pela aplicação de B.
d) Prova geral no Passo 10.

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