Sejam \mathbf{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1\end{array}\right] e \mathbf{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right] matrizes inversíveis.
a) Calcule AB e BA e observe que estes produtos são distintos.
b) Encontre os autovalores de \mathbf{A B} e os de \mathbf{B A}. O que você observa?
c) Encontre os autovetores de \mathbf{A B} e os de \mathbf{B A}. 0 que você nota?
d) Motivado pelos itens anteriores, mostre que: se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, os autovalores de \mathbf{A B} e \mathbf{B A} são os mesmos. Mostre mais ainda: se \lambda_{1} é um autovalor de \mathbf{A B} com autovetor \mathbf{v}, então \lambda_{1} é autovalor de BA com autovetor Bv. Da mesma forma, se \lambda_{2} é úm autovalor de BA com autovetor w, então \lambda_{2} é autovalor de AB com autovetor Aw.
e pede:
a) calcular AB e BA e notar que são diferentes;
b) achar os autovalores de AB e de BA e comparar;
c) achar os autovetores de AB e de BA e ver o que acontece;
d) provar em geral que, para matrizes inversíveis A e B, AB e BA têm os mesmos autovalores e que o mapeamento de autovetor usa B e A.
portanto Bv é autovetor de BA associado a \lambda. Similarmente, se BA\,w=\mu\,w então
AB\,(Aw) = A\,(BA)\,w = A\,(\mu w) = \mu\,(Aw),
e Aw\neq0 é autovetor de AB com autovalor \mu.
Resposta
a)
AB = \begin{pmatrix}1&7&4\\\ 0&-2&3\\\ 0&0&-3\end{pmatrix},\quad BA = \begin{pmatrix}1&-1&3\\\ 0&-2&2\\\ 0&0&-3\end{pmatrix},
logo AB\neq BA.
b) Ambos têm autovalores \{1,-2,-3\}.
c) Autovetores de AB: \,(1,0,0)^T,\;(-7,3,0)^T,\;(17,-12,4)^T,
de BA: \,(1,0,0)^T,\;(1,3,0)^T,\;(-5,-8,4)^T.
Eles se correspondem pela aplicação de B.
d) Prova geral no Passo 10.