Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares:
tal que
Passo 1
O enunciado pede: “Ache os autovalores e autovetores correspondentes” da transformação linear
dada por
Informações fornecidas:
está definida em
.
A regra explícita é .
O que devemos entregar: todos os autovalores (escalares) e, para cada autovalor, os autovetores não-nulos
tais que
.
A regra explícita é
O que devemos entregar: todos os autovalores
Passo 2
Vamos representar
por uma matriz em relação à base canônica
. Para isso, aplicamos
aos vetores da base:
As colunas da matriz são exatamente essas imagens. Logo, a matriz de
é
Explicação rápida: representar
por
significa que
para todo
.]
Passo 3
Definição e estratégia: um autovalor
e um autovetor não-nulo
satisfazem
Isto é equivalente a
Para existir solução não-trivial
devemos ter
A equação
chama-se polinômio característico e suas raízes são os autovalores. Depois de achar
substituímos em
e resolvemos para
para obter os autovetores.
Passo 4
Calculemos o polinômio característico:
O determinante é
Expandindo,
Portanto o polinômio característico é
.]
Passo 5
Resolvemos a equação
pelo método da fórmula quadrática. Para a equação geral
temos
Aqui
,
,
. Substituindo,
Como
, obtemos
Assim os dois autovalores são
e
.
Passo 6
Agora vamos encontrar os autovetores associados a
. Resolvemos
. A matriz fica
Chamando
, o sistema linear é
As duas equações são equivalentes (uma é múltiplo da outra), então basta usar a primeira:
Escolhendo
(qualquer escala não-nula serve) obtemos o autovetor
Observação: qualquer múltiplo escalar de
também é autovetor correspondente a
.]
Passo 7
Agora para
. A matriz
é
O sistema
dá
novamente equivalentes. Da primeira equação obtemos
Escolhendo
obtemos o autovetor
Qualquer múltiplo não-nulo de
também serve.]
Passo 8
Verificação rápida (apenas para ficar seguro): aplicando
ao autovetor
temos
enquanto
que coincide com o resultado acima (ordem das parcelas não altera). Mesma verificação funciona para
. Isso confirma que os pares encontrados estão corretos.]