Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y)=(x+y, 2 x+y)

Passo 1

O enunciado pede: “Ache os autovalores e autovetores correspondentes” da transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por
T(x,y)=(x+y,\;2x+y).
Informações fornecidas:
\;T está definida em \mathbb{R}^{2}.
A regra explícita é (x,y)\mapsto(x+y,\,2x+y).
O que devemos entregar: todos os autovalores \lambda (escalares) e, para cada autovalor, os autovetores não-nulos v\in\mathbb{R}^2 tais que T(v)=\lambda v.

Passo 2

Vamos representar T por uma matriz em relação à base canônica \{(1,0),(0,1)\}. Para isso, aplicamos T aos vetores da base:
T(1,0)=(1+0,\,2\cdot1+0)=(1,2),
T(0,1)=(0+1,\,2\cdot0+1)=(1,1).
As colunas da matriz são exatamente essas imagens. Logo, a matriz de T é
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
Explicação rápida: representar T por A significa que T(v)=A v para todo v\in\mathbb{R}^2.]

Passo 3

Definição e estratégia: um autovalor \lambda e um autovetor não-nulo v satisfazem
A v = \lambda v.
Isto é equivalente a
(A-\lambda I)v=0.
Para existir solução não-trivial v\neq0 devemos ter
\det(A-\lambda I)=0.
A equação \det(A-\lambda I)=0 chama-se polinômio característico e suas raízes são os autovalores. Depois de achar \lambda substituímos em (A-\lambda I)v=0 e resolvemos para v para obter os autovetores.

Passo 4

Calculemos o polinômio característico:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[4pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(1-\lambda)-2=(1-\lambda)^2-2.
Expandindo,
(1-\lambda)^2-2=1-2\lambda+\lambda^2-2=\lambda^2-2\lambda-1.
Portanto o polinômio característico é \lambda^2-2\lambda-1.]

Passo 5

Resolvemos a equação \lambda^2-2\lambda-1=0 pelo método da fórmula quadrática. Para a equação geral a\lambda^2+b\lambda+c=0 temos
\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-2, c=-1. Substituindo,
\lambda=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}.
Como \sqrt{8}=2\sqrt{2}, obtemos
\lambda=1\pm\sqrt{2}.
Assim os dois autovalores são \lambda_{1}=1+\sqrt{2} e \lambda_{2}=1-\sqrt{2}.

Passo 6

Agora vamos encontrar os autovetores associados a \lambda_{1}=1+\sqrt{2}. Resolvemos (A-\lambda_{1}I)v=0. A matriz fica
A-\lambda_{1}I=\begin{pmatrix}1-(1+\sqrt{2}) & 1\\[4pt] 2 & 1-(1+\sqrt{2})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sqrt{2} & 1\\[4pt] 2 & -\sqrt{2}\end{pmatrix}.
Chamando v=(x,y), o sistema linear é
-\sqrt{2}\,x + y = 0,
2x -\sqrt{2}\,y = 0.
As duas equações são equivalentes (uma é múltiplo da outra), então basta usar a primeira:
y=\sqrt{2}\,x.
Escolhendo x=1 (qualquer escala não-nula serve) obtemos o autovetor
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] \sqrt{2}\end{pmatrix}.
Observação: qualquer múltiplo escalar de v_{1} também é autovetor correspondente a \lambda_{1}.]

Passo 7

Agora para \lambda_{2}=1-\sqrt{2}. A matriz A-\lambda_{2}I é
A-\lambda_{2}I=\begin{pmatrix}1-(1-\sqrt{2}) & 1\\[4pt] 2 & 1-(1-\sqrt{2})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt{2} & 1\\[4pt] 2 & \sqrt{2}\end{pmatrix}.
O sistema (A-\lambda_{2}I)v=0
\sqrt{2}\,x + y = 0,
2x + \sqrt{2}\,y = 0,
novamente equivalentes. Da primeira equação obtemos
y=-\sqrt{2}\,x.
Escolhendo x=1 obtemos o autovetor
v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -\sqrt{2}\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo não-nulo de v_{2} também serve.]

Passo 8

Verificação rápida (apenas para ficar seguro): aplicando T ao autovetor v_{1} temos
T\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\sqrt{2}\\[4pt]2+\sqrt{2}\end{pmatrix},
enquanto
(1+\sqrt{2})\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+\sqrt{2}\\[4pt]\sqrt{2}+2\end{pmatrix},
que coincide com o resultado acima (ordem das parcelas não altera). Mesma verificação funciona para v_{2}. Isso confirma que os pares encontrados estão corretos.]

Resposta

\lambda_{1}=1+\sqrt{2}, autovetores: múltiplos de \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}\end{pmatrix}.\n
\lambda_{2}=1-\sqrt{2}, autovetores: múltiplos de \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[4pt]-\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

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