Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;x-y+2z,\;2x+y-z).
O que o problema pede é: “Ache os autovalores e os autovetores correspondentes” dessa transformação.
Informações relevantes fornecidas:
A regra de T aplicada a um vetor (x,y,z) está explicitamente dada acima.
O espaço de domínio e contradomínio é \mathbb{R}^3.
Preciso encontrar todos os valores \lambda (autovalores) e, para cada \lambda, todos os vetores não-nulos v\in\mathbb{R}^3 tais que T(v)=\lambda v (autovetores).
Passo 2
O que é um autovalor e autovetor — explicação didática:
Um número \lambda é um autovalor de T se existe um vetor não-nulo v com T(v)=\lambda v. Esse v é então um autovetor associado a \lambda.
Na prática, representamos T por uma matriz A na base canônica. Então procuramos \lambda tais que \det(A-\lambda I)=0 (essa equação é chamada polinômio característico). Depois, para cada \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo.
Passo 3
Representação matricial de T na base canônica. Calculamos T aplicado aos vetores da base:
T(1,0,0)= (1,1,2) (peguei fazendo x=1,y=0,z=0 na definição de T),
T(0,1,0)= (1,-1,1) (peguei da definição com x=0,y=1,z=0),
T(0,0,1)= (0,2,-1) (peguei da definição com x=0,y=0,z=1).
Portanto a matriz A de T (colunas são as imagens dos vetores da base) é
\begin{cases} - x + y = 0,\\[4pt] x -3y +2z = 0,\\[4pt] 2x + y -3z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=x\]. Substituindo na segunda:
\[x-3x+2z=-2x+2z=0\implies z=x.\]
A terceira equação fica \(2x+x-3x=0, que é automaticamente satisfeita. Logo os vetores solução são múltiplos de
v=(1,1,1).
Assim, um autovetor associado a \lambda=2 é (1,1,1).]
\begin{cases} 3x + y = 0,\\[4pt] x + y + 2z = 0,\\[4pt] 2x + y + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=-3x\]. Substituo na segunda:
\[x-3x+2z=-2x+2z=0\implies z=x.\]
A terceira fica \(2x-3x+x=0, satisfeita. Logo as soluções são múltiplos de
v=(1,-3,1).
Portanto (1,-3,1) é um autovetor associado a \lambda=-2.]
Passo 9
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): aplicando A aos autovetores encontrados deve dar \lambda vezes o autovetor.
Para v=(1,1,1): A(1,1,1)=(1+1,\;1-1+2,\;2+1-1)=(2,2,2)=2(1,1,1).
Para v=(2,-4,-1): calcular A(2,-4,-1) dá (-2,\;2,\;1)= -1\cdot(2,-4,-1) (confere).
Para v=(1,-3,1): calcular A(1,-3,1) dá (-2,\;6,\;-2)= -2\cdot(1,-3,1) (confere).
Resposta
\lambda=2: autovetor proporcional a (1,1,1). \lambda=-1: autovetor proporcional a (2,-4,-1). \lambda=-2: autovetor proporcional a (1,-3,1).