Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;x-y+2z,\;2x+y-z).
O que o problema pede é: “Ache os autovalores e os autovetores correspondentes” dessa transformação.
Informações relevantes fornecidas:
  • A regra de T aplicada a um vetor (x,y,z) está explicitamente dada acima.
  • O espaço de domínio e contradomínio é \mathbb{R}^3.
  • Preciso encontrar todos os valores \lambda (autovalores) e, para cada \lambda, todos os vetores não-nulos v\in\mathbb{R}^3 tais que T(v)=\lambda v (autovetores).

Passo 2

O que é um autovalor e autovetor — explicação didática:
  • Um número \lambda é um autovalor de T se existe um vetor não-nulo v com T(v)=\lambda v. Esse v é então um autovetor associado a \lambda.
  • Na prática, representamos T por uma matriz A na base canônica. Então procuramos \lambda tais que \det(A-\lambda I)=0 (essa equação é chamada polinômio característico). Depois, para cada \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores.
    Vou aplicar esse procedimento passo a passo.

Passo 3

Representação matricial de T na base canônica. Calculamos T aplicado aos vetores da base:
  • T(1,0,0)= (1,1,2) (peguei fazendo x=1,y=0,z=0 na definição de T),
  • T(0,1,0)= (1,-1,1) (peguei da definição com x=0,y=1,z=0),
  • T(0,0,1)= (0,2,-1) (peguei da definição com x=0,y=0,z=1).
Portanto a matriz A de T (colunas são as imagens dos vetores da base) é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 2\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1-\lambda & 2\\[4pt] 2 & 1 & -1-\lambda \end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante (expansão pela primeira linha é conveniente):
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 2\\[4pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & -1-\lambda\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calculo as determinantes 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 2\\[4pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(-1-\lambda)^2-2\cdot1 =(\lambda+1)^2-2=\lambda^2+2\lambda-1,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & -1-\lambda\end{pmatrix}=1\cdot(-1-\lambda)-2\cdot2=-1-\lambda-4=-5-\lambda.
Substituindo no determinante:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2+2\lambda-1)-1\cdot(-5-\lambda).
Faço as contas passo a passo:
(1-\lambda)(\lambda^2+2\lambda-1)=\lambda^2+2\lambda-1-\lambda^3-2\lambda^2+\lambda=-\lambda^3-\lambda^2+3\lambda-1,
e adicionando -1\cdot(-5-\lambda)=5+\lambda obtemos
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3-\lambda^2+4\lambda+4.
Multiplicando por -1 (para simplificar o sinal), o polinômio característico é
\lambda^3+\lambda^2-4\lambda-4.]

Passo 5

Fatoração do polinômio característico e obtenção dos autovalores.
Tento fatorar \lambda^3+\lambda^2-4\lambda-4 por agrupamento:
\lambda^3+\lambda^2-4\lambda-4 =\lambda^2(\lambda+1)-4(\lambda+1) =(\lambda+1)(\lambda^2-4).
E \lambda^2-4 é uma diferença de quadrados:
\lambda^2-4=(\lambda-2)(\lambda+2).
Logo o polinômio fatorado é
(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda+2).
Portanto os autovalores são
\lambda= -1,\quad \lambda=2,\quad \lambda=-2.

Passo 6

Encontrar autovetores para \lambda=2\). Resolvemos \((A-2I)v=0\). Escrevo a matriz \(A-2I\): \[A-2I= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -3 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}.
Isso dá o sistema linear
\begin{cases} - x + y = 0,\\[4pt] x -3y +2z = 0,\\[4pt] 2x + y -3z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=x\]. Substituindo na segunda: \[x-3x+2z=-2x+2z=0\implies z=x.\] A terceira equação fica \(2x+x-3x=0, que é automaticamente satisfeita. Logo os vetores solução são múltiplos de
v=(1,1,1).
Assim, um autovetor associado a \lambda=2 é (1,1,1).]

Passo 7

Encontrar autovetores para \lambda=-1\). Resolvemos \((A+I)v=0\). Escrevo \(A+I\): \[A+I= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
O sistema é
\begin{cases} 2x + y = 0,\\[4pt] x + 0\cdot y + 2z = 0,\\[4pt] 2x + y = 0. \end{cases}
A primeira e a terceira são iguais. Da primeira vem y=-2x\]. Da segunda vem \(x+2z=0\Rightarrow z=-\tfrac{x}{2}.
Assim as soluções são
(x,y,z)=\Big(x,\,-2x,\,-\tfrac{x}{2}\Big)=x\Big(1,-2,-\tfrac{1}{2}\Big).
Para evitar frações, posso multiplicar por 2 e escolher como autovetor o vetor inteiro
v=(2,-4,-1).
Esse v é um autovetor associado a \lambda=-1.]

Passo 8

Encontrar autovetores para \lambda=-2\). Resolvemos \((A+2I)v=0\). Escrevo \(A+2I\): \[A+2I= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O sistema correspondente é
\begin{cases} 3x + y = 0,\\[4pt] x + y + 2z = 0,\\[4pt] 2x + y + z = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=-3x\]. Substituo na segunda: \[x-3x+2z=-2x+2z=0\implies z=x.\] A terceira fica \(2x-3x+x=0, satisfeita. Logo as soluções são múltiplos de
v=(1,-3,1).
Portanto (1,-3,1) é um autovetor associado a \lambda=-2.]

Passo 9

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): aplicando A aos autovetores encontrados deve dar \lambda vezes o autovetor.
  • Para v=(1,1,1): A(1,1,1)=(1+1,\;1-1+2,\;2+1-1)=(2,2,2)=2(1,1,1).
  • Para v=(2,-4,-1): calcular A(2,-4,-1) (-2,\;2,\;1)= -1\cdot(2,-4,-1) (confere).
  • Para v=(1,-3,1): calcular A(1,-3,1) (-2,\;6,\;-2)= -2\cdot(1,-3,1) (confere).

Resposta

\lambda=2: autovetor proporcional a (1,1,1).
\lambda=-1: autovetor proporcional a (2,-4,-1).
\lambda=-2: autovetor proporcional a (1,-3,1).

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