Calcule a forma quadrática boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}, em que A= \left[\begin{array}{rr}5 & 1 / 3 \\\\ 1 / 3 & 1\end{array}\right] e:
boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right]

Passo 1

O que o problema pede: calcular a forma quadrática \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} para a matriz A e o vetor \boldsymbol{x} dados.
Informações fornecidas:
A = \begin{pmatrix}5 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] \tfrac{1}{3} & 1\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}x_{1} \\[4pt] x_{2}\end{pmatrix}.]

Passo 2

O que é a forma quadrática e como vamos calcular: a forma quadrática de uma matriz A é o escalar dado por
\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}.
Aqui \boldsymbol{x}^{T} é o vetor linha obtido transpondo \boldsymbol{x}. Se \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\end{pmatrix}, então
\boldsymbol{x}^{T} = \begin{pmatrix}x_{1} & x_{2}\end{pmatrix}.
Uma forma prática para computar \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} é primeiro calcular o produto matriz-vetor A\boldsymbol{x} (que é um vetor) e depois fazer o produto escalar de \boldsymbol{x}^{T} com esse vetor. Alternativamente, podemos usar a soma dupla
\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} a_{ij} x_{i} x_{j},
onde a_{ij} são os elementos de A. Observação útil: se A é simétrica (o que é o caso aqui, porque a_{12}=a_{21}=\tfrac{1}{3}), os termos cruzados a_{12}x_{1}x_{2} e a_{21}x_{2}x_{1} somam 2a_{12}x_{1}x_{2}.

Passo 3

Calculemos A\boldsymbol{x} passo a passo. Multiplicando A por \boldsymbol{x} obtemos:
A\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}5 & \tfrac{1}{3} \\[4pt] \tfrac{1}{3} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1} \\[4pt] x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5x_{1} + \tfrac{1}{3}x_{2} \\[6pt] \tfrac{1}{3}x_{1} + 1\cdot x_{2} \end{pmatrix}.
Explicando a multiplicação: cada componente do vetor resultado é a soma dos produtos da linha correspondente de A pelos componentes de \boldsymbol{x}. Por exemplo, o primeiro componente é 5\cdot x_{1} + \tfrac{1}{3}\cdot x_{2}.]

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar \boldsymbol{x}^{T}(A\boldsymbol{x}):
\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}x_{1} & x_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5x_{1} + \tfrac{1}{3}x_{2} \\[6pt] \tfrac{1}{3}x_{1} + x_{2} \end{pmatrix}.
Isso equivale a multiplicar componente a componente e somar:
\boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} = x_{1}\bigl(5x_{1} + \tfrac{1}{3}x_{2}\bigr) + x_{2}\bigl(\tfrac{1}{3}x_{1} + x_{2}\bigr).]

Passo 5

Desenvolvendo os produtos e combinando termos semelhantes:
\begin{aligned} \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} &= 5x_{1}^{2} + \tfrac{1}{3}x_{1}x_{2} + \tfrac{1}{3}x_{2}x_{1} + x_{2}^{2} \\\ &= 5x_{1}^{2} + \left(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}\right)x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} \\\ &= 5x_{1}^{2} + \tfrac{2}{3}x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}. \end{aligned}
Aqui usei que x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1} para somar os termos cruzados.

Passo 6

Interpretação e dica para a prova: a expressão final é um polinômio quadrático em x_{1} e x_{2}. Em geral, para matrizes 2\times2 simétricas
\begin{pmatrix}a & b\\\ b & c\end{pmatrix},
a forma quadrática é a x_{1}^{2} + 2b x_{1}x_{2} + c x_{2}^{2}. No nosso caso temos a=5, b=\tfrac{1}{3}, c=1, logo o termo cruzado é 2b x_{1}x_{2}= \tfrac{2}{3}x_{1}x_{2}, em concordância com o cálculo acima. Isso é rápido de aplicar na prova: identifique a,b,c e use a fórmula direta.

Resposta

5x_{1}^{2} + \tfrac{2}{3}x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}

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