Vou listar as linhas envolvidas, usando R_i para a linha (a_i,b_i,c_i,d_i):
Linha 1 da matriz pedida: R_4.
Linha 2 da matriz pedida: 2R_2.
Linha 3 da matriz pedida: R_1.
Linha 4 da matriz pedida: R_3-R_1.
O objetivo é expressar \Delta em função do determinante conhecido (igual a 5) usando operações sobre linhas.
Passo 2
Relembrando propriedades de determinantes que vou usar (sem pular etapas):
Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. Ou seja, se uma linha é k vezes outra, fator k pode ser tirado do determinante.
Trocar duas linhas troca o sinal do determinante (multiplica por -1).
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Essas três regras permitem transformar a matriz pedida em uma forma cujo determinante é fácil de relacionar ao dado original.
Passo 3
Começo por tirar o fator 2 da segunda linha da matriz pedida. Pela propriedade 1,
Agora vou permutar linhas de N para aproximá-la da ordem (R_1,R_2,R_3,R_4) (a ordem da matriz cujo determinante é dado). Faço as trocas passo a passo e acompanho o sinal:
Troco a linha 1 com a linha 3 (isto é, R_4 com R_1). Uma troca de linhas multiplica o determinante por -1. Após essa troca obtemos a matriz
Como fiz duas trocas, o sinal total é (-1)\cdot(-1)=+1, ou seja, o determinante desta matriz é igual a N (mesmo sinal).]
Passo 5
Agora aplico a operação de adicionar a linha 1 à linha 3. A linha 3 é R_3-R_1; somando R_1 obtemos R_3. Pela propriedade 3, isso não altera o valor do determinante. Assim chegamos exatamente à matriz