Sabendo que \left|\begin{array}{llll}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\\ a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right|=5, calcule \left|\begin{array}{cccc}a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \\\\ 2 a_{2} & 2 b_{2} & 2 c_{2} & 2 d_{2} \\\ a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\\ a_{3}-a_{1} & b_{3}-b_{1} & c_{3}-c_{1} & d_{3}-d_{1}\end{array}\right| ..

Passo 1

O enunciado dá explicitamente que
\left|\begin{array}{llll} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\\ a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \end{array}\right|=5.
Pede-se calcular
\Delta=\left|\begin{array}{cccc} a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \\\\ 2a_{2} & 2b_{2} & 2c_{2} & 2d_{2} \\\ a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\\ a_{3}-a_{1} & b_{3}-b_{1} & c_{3}-c_{1} & d_{3}-d_{1} \end{array}\right|.
Vou listar as linhas envolvidas, usando R_i para a linha (a_i,b_i,c_i,d_i):
  • Linha 1 da matriz pedida: R_4.
  • Linha 2 da matriz pedida: 2R_2.
  • Linha 3 da matriz pedida: R_1.
  • Linha 4 da matriz pedida: R_3-R_1.
O objetivo é expressar \Delta em função do determinante conhecido (igual a 5) usando operações sobre linhas.

Passo 2

Relembrando propriedades de determinantes que vou usar (sem pular etapas):
  1. Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k. Ou seja, se uma linha é k vezes outra, fator k pode ser tirado do determinante.
  2. Trocar duas linhas troca o sinal do determinante (multiplica por -1).
  3. Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Essas três regras permitem transformar a matriz pedida em uma forma cujo determinante é fácil de relacionar ao dado original.

Passo 3

Começo por tirar o fator 2 da segunda linha da matriz pedida. Pela propriedade 1,
\Delta = 2\cdot\left|\begin{array}{cccc} a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4} \\\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\\ a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\\ a_{3}-a_{1} & b_{3}-b_{1} & c_{3}-c_{1} & d_{3}-d_{1} \end{array}\right|.
Denoto a matriz dentro do valor absoluto por N, ou seja
N=\left|\begin{array}{cccc} R_4\\[2pt] R_2\\[2pt] R_1\\[2pt] R_3-R_1 \end{array}\right|.]

Passo 4

Agora vou permutar linhas de N para aproximá-la da ordem (R_1,R_2,R_3,R_4) (a ordem da matriz cujo determinante é dado). Faço as trocas passo a passo e acompanho o sinal:
  • Troco a linha 1 com a linha 3 (isto é, R_4 com R_1). Uma troca de linhas multiplica o determinante por -1. Após essa troca obtemos a matriz
\left|\begin{array}{cccc} R_1\\[2pt] R_2\\[2pt] R_4\\[2pt] R_3-R_1 \end{array}\right|
e o determinante vale -N.
  • Em seguida troco a linha 3 com a linha 4 (isto é, R_4 com R_3-R_1). Outra troca introduz mais um fator -1. Após essa segunda troca obtemos
\left|\begin{array}{cccc} R_1\\[2pt] R_2\\[2pt] R_3-R_1\\[2pt] R_4 \end{array}\right|.
Como fiz duas trocas, o sinal total é (-1)\cdot(-1)=+1, ou seja, o determinante desta matriz é igual a N (mesmo sinal).]

Passo 5

Agora aplico a operação de adicionar a linha 1 à linha 3. A linha 3 é R_3-R_1; somando R_1 obtemos R_3. Pela propriedade 3, isso não altera o valor do determinante. Assim chegamos exatamente à matriz
\left|\begin{array}{cccc} R_1\\[2pt] R_2\\[2pt] R_3\\[2pt] R_4 \end{array}\right|
cujo determinante é o dado no enunciado, ou seja 5.]

Passo 6

Concluindo os valores intermediários:
  • O determinante N vale 5.
  • Lembrando que \Delta=2\cdot N (do Passo 3), segue que
\Delta=2\cdot 5=10.

Resposta

10

Exercícios relacionados