Ache os autovetores e autovalores da Hamiltoniana do oscilador harmônico em 3dimensões em coordenadas esféricas, dado por:
Use o fato que o potencial é esfericamente simétrico e escreva os autovetores de H em termos dos autovetores de
e
. Mostre que os estados são degenerados e calcule a ordem da degenerescência.
Passo 1
O enunciado dá:
- O potencial do oscilador harmônico tridimensional em coordenadas esféricas:
- A Hamiltoniana é, portanto,
O que é pedido:
- Achar os autovalores (energias) e autovetores (funções de onda) de
. - Escrever os autovetores em termos dos autovetores de
e . - Mostrar que os estados são degenerados e calcular a ordem da degenerescência (quantos estados distintos têm a mesma energia).
Vou seguir uma resolução passo a passo e explicar cada conceito necessário para você entender e poder repetir isso na prova.
Passo 2
Por que podemos usar os autovetores de
e
?
- O potencial depende apenas de
(ou seja, é esfericamente simétrico). Isso implica que comuta com o momento angular total:
- Quando dois operadores comutam podemos escolher um conjunto de autofunções comuns. Logo, existe uma base de autofunções de
que são simultaneamente autofunções de e . - Portanto é natural rotular os estados por três números quânticos: um radial (que chamo
), (autovalor de ) e (autovalor de ), com
Isso explica por que os autovetores de
podem ser escritos como produto de uma parte radial e um harmônico esférico angular.
Passo 3
Separação de variáveis em coordenadas esféricas
- Escrevemos a função de onda como
- A equação de Schrödinger estacionária é
- Em coordenadas esféricas, o laplaciano age assim sobre funções separáveis; depois de inserir
e separar as variáveis, obtém-se a equação radial
- É conveniente definir
. Substituindo, transforma-se a equação acima numa equação de uma dimensão para :
- Interpretação física:
resolve uma equação de Schrödinger unidimensional com um potencial efetivo que soma o termo centrífugo e o potencial harmônico .
Passo 4
Torcendo a equação para uma forma conhecida (introdução de variáveis adimensionais) e quantização
- Defina a escala de comprimento adimensional
- Em função de
a equação para fica (após dividir por e rearranjar)
onde
.
- Para
a solução deve decair como para ser normalizável; perto de a solução regular comporta-se como . - Fazendo a ansatz padrão
leva-se
a satisfazer uma equação cuja solução exigida para normalizabilidade são polinômios (polinômios generalizados de Laguerre). Essa exigência de que
seja um polinômio leva à condição de quantização da energia.
- O resultado da quantização é
onde
é o número quântico radial (número de nós radiais de
além do nó em
).
Observação: define-se às vezes o número principal
por
de modo que
Passo 5
Forma explícita dos autovetores (funções de onda)
- Os autofunções separadas podem ser escritas como
com a parte radial (usando
) dada por
onde
é o polinômio de Laguerre generalizado e
é a constante de normalização. Uma forma conveniente para a normalização é
- Explicando cada símbolo:
-
é o número radial; -
é o momento angular total; -
é a projeção ; -
define a escala de comprimento; é a função gama.
-
- Essas funções estão normalizadas segundo
Passo 6
Interpretação física e escolha da base
- Cada
é autovetor comum de , e :
- Em prova: é suficiente mostrar que
é radial (depende só de ), daí a comutação com e a possibilidade de escolher harmônicos esféricos para parte angular.
Passo 7
Degenerescência: por que os estados são degenerados e qual a ordem?
- A energia depende apenas de
(ou equivalentemente de e apenas através desse combinação). Portanto todos os pares que dão o mesmo têm a mesma energia — é por isso que há degenerescência. - Para fixar
e contar estados distintos, note que pode assumir os valores
(de fato
tem a mesma paridade que
). Para cada
há
valores de
.
- Contando explicitamente,
Fazendo a soma (ou usando um argumento combinatório), obtém-se a fórmula fechada
- Alternativa simples (intuitiva): na representação cartesiana o hamiltoniano é soma de três osciladores unidimensionais com números quânticos inteiros não-negativos
e energia . Para uma energia dada o número de soluções não-negativas inteiras é o número de composições de em três partes com ordem (com repetição), que é
o mesmo resultado — isso confirma a contagem.
- Exemplos:
-
(estado fundamental). -
. -
.
-
Passo 8
Resumo final (como você deve entregar na prova)
- Estados próprios:
com dado no passo anterior. - Energias:
. - Estados simultâneos de
: satisfazem e . - Degenerescência para níveis com
:
Resposta
Estados próprios simultâneos de
Degenerescência por nível