Prove as relações abaixo associadas com a adição de dois momentos angulares:
\sum_{\mathrm{m}_{1}, \mathrm{~m}_{2}}\left\langle\mathrm{j}_{1} \mathrm{j}_{2} \mathrm{~m}_{1} \mathrm{~m}_{2} \mid \mathrm{j}_{1} \mathrm{j}_{2} \mathrm{jm}\right\rangle\left\langle\mathrm{j}_{1} \mathrm{j}_{2} \mathrm{~m}_{1} \mathrm{~m}_{2} \mid \mathrm{j}_{1} \mathrm{j}_{2} \mathrm{j}^{\prime} \mathrm{m}^{\prime}\right\rangle=\delta_{\mathrm{j}^{\prime}} \delta_{\text {m' }}

Passo 1

O enunciado nos dá a soma sobre os pares \mathrm{m}_1,\mathrm{m}_2 dos produtos de dois coeficientes de Clebsch–Gordan do tipo
\sum_{\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_2} \left\langle \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{m}_1 \mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{j}\,\mathrm{m}\right\rangle \left\langle \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{m}_1 \mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{j}'\,\mathrm{m}'\right\rangle.
O que se pede é provar que essa soma vale um produto de deltas de Kronecker que exprime a ortogonalidade dos estados acoplados:
\text{(a provar)}\qquad \sum_{\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_2} \left\langle \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{m}_1 \mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{j}\,\mathrm{m}\right\rangle \left\langle \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{m}_1 \mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{j}'\,\mathrm{m}'\right\rangle = \delta_{\mathrm{j}\mathrm{j}'}\,\delta_{\mathrm{m}\mathrm{m}'}.
Informações relevantes que temos (e que usaremos): \mathrm{j}_1,\mathrm{j}_2 são momentos angulares individuais; \mathrm{m}_1,\mathrm{m}_2 são seus respectivos autoestados de \mathrm{J}_z; \mathrm{j},\mathrm{m} e \mathrm{j}',\mathrm{m}' descrevem o momento angular total e sua projeção. Os coeficientes \langle \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2\,\mathrm{m}_1\mathrm{m}_2\mid\mathrm{j}_1\mathrm{j}_2\,\mathrm{j}\,\mathrm{m}\rangle são as componentes (em geral complexas) da mudança de base entre a base produto |\mathrm{j}_1\mathrm{m}_1\rangle\otimes|\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2\rangle e a base acoplada |\mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\mathrm{j}\mathrm{m}\rangle.

Passo 2

Vou definir as bases e suas propriedades de ortonormalidade (isso é essencial).
  • A base produto (não acoplada) é formada pelos vetores \left|\mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2\right\rangle \equiv \left|\mathrm{j}_1\mathrm{m}_1\right\rangle\otimes\left|\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2\right\rangle.Esses vetores são ortonormais entre si: \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1';\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2' \right\rangle = \delta_{\mathrm{m}_1\mathrm{m}_1'}\,\delta_{\mathrm{m}_2\mathrm{m}_2'}.Aqui \delta é o delta de Kronecker que vale 1 se os índices são iguais e 0 caso contrário.
  • A base acoplada (total) é formada pelos vetores \left|\mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m}\right\rangle. Esses vetores também são ortonormais: \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}' \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m} \right\rangle = \delta_{\mathrm{j}\mathrm{j}'}\,\delta_{\mathrm{m}\mathrm{m}'}.(Isto decorre do fato de que \left|\mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m}\right\rangle são autoestados simultâneos e ortogonais dos operadores \mathbf{J}^2 e J_z do sistema total.)

Passo 3

Expansão da base acoplada na base produto: por definição dos coeficientes de Clebsch–Gordan,
\left|\mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m}\right\rangle = \sum_{\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_2} \left|\mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2\right\rangle \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m}\right\rangle.
Aqui \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m}\right\rangle é o coeficiente de Clebsch–Gordan; note que, quando aparecer um bra com esse produto, o coeficiente correspondente será o complexo conjugado, isto é
\left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}' \mid \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2\right\rangle = \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}'\right\rangle^*,
onde ^* indica conjugação complexa. (Em muitas convenções os coeficientes são reais, mas não é necessário assumir isso para a prova.)

Passo 4

Agora calculamos explicitamente o produto interno entre dois estados acoplados usando as expansões na base produto. Começamos com
\left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}' \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m} \right\rangle.
Substituindo as expansões das duas bases em termos da base produto obtemos (mostrando passo a passo):
\left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}' \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m} \right\rangle = \sum_{\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_2} \sum_{\mathrm{n}_1,\mathrm{n}_2} \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}' \mid \mathrm{j}_1\mathrm{n}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{n}_2 \right\rangle \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{n}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{n}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \right\rangle \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m} \right\rangle.
Aqui usei duas expansões (uma para o bra e outra para o ket) e inseri a resolução da identidade na base produto. Agora aplico a ortonormalidade da base produto:
\left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{n}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{n}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \right\rangle = \delta_{\mathrm{n}_1\mathrm{m}_1}\,\delta_{\mathrm{n}_2\mathrm{m}_2}.
Isso elimina a soma sobre \mathrm{n}_1,\mathrm{n}_2 e deixa
\left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}' \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m} \right\rangle = \sum_{\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_2} \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}' \mid \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \right\rangle \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m} \right\rangle.

Passo 5

Troco as expressões pelas definições dos coeficientes (lembrando da conjugação para o bra) e obtenho a relação desejada. Usando
\left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}' \mid \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \right\rangle = \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}'\right\rangle^*,
temos
\left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}' \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m} \right\rangle = \sum_{\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_2} \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}'\right\rangle^* \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m}\right\rangle.
Mas, pela ortonormalidade dos estados acoplados (ver Passo 2), o lado esquerdo é \delta_{\mathrm{j}\mathrm{j}'}\,\delta_{\mathrm{m}\mathrm{m}'}. Assim chegamos à identidade de ortogonalidade dos coeficientes de Clebsch–Gordan:
\sum_{\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_2} \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}'\mathrm{m}'\right\rangle^* \left\langle \mathrm{j}_1\mathrm{m}_1;\,\mathrm{j}_2\mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1\mathrm{j}_2;\,\mathrm{j}\mathrm{m}\right\rangle = \delta_{\mathrm{j}\mathrm{j}'}\,\delta_{\mathrm{m}\mathrm{m}'}.
Se a convenção de fase adotada torna todos os coeficientes reais (a convenção de Condon–Shortley, por exemplo), os complexos conjugados desaparecem e a fórmula fica exatamente na forma apresentada no enunciado (produto simples dos dois coeficientes). Esta é a demonstração pedida: a expressão é apenas a manifestação, em termos dos coeficientes, da ortonormalidade dos estados acoplados.

Resposta

\displaystyle \sum_{\mathrm{m}_1,\mathrm{m}_2} \left\langle \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{m}_1 \mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{j}\,\mathrm{m}\right\rangle \left\langle \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{m}_1 \mathrm{m}_2 \mid \mathrm{j}_1 \mathrm{j}_2 \,\mathrm{j}'\,\mathrm{m}'\right\rangle = \delta_{\mathrm{j}\mathrm{j}'}\,\delta_{\mathrm{m}\mathrm{m}'}

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