Prove as relações abaixo associadas com a adição de dois momentos angulares:
Passo 1
O enunciado nos dá a soma sobre os pares
dos produtos de dois coeficientes de Clebsch–Gordan do tipo
O que se pede é provar que essa soma vale um produto de deltas de Kronecker que exprime a ortogonalidade dos estados acoplados:
Informações relevantes que temos (e que usaremos):
são momentos angulares individuais;
são seus respectivos autoestados de
;
e
descrevem o momento angular total e sua projeção. Os coeficientes
são as componentes (em geral complexas) da mudança de base entre a base produto
e a base acoplada
.
Passo 2
Vou definir as bases e suas propriedades de ortonormalidade (isso é essencial).
- A base produto (não acoplada) é formada pelos vetores
Esses vetores são ortonormais entre si: Aqui é o delta de Kronecker que vale se os índices são iguais e caso contrário. - A base acoplada (total) é formada pelos vetores
. Esses vetores também são ortonormais: (Isto decorre do fato de que são autoestados simultâneos e ortogonais dos operadores e do sistema total.)
Passo 3
Expansão da base acoplada na base produto: por definição dos coeficientes de Clebsch–Gordan,
Aqui
é o coeficiente de Clebsch–Gordan; note que, quando aparecer um bra com esse produto, o coeficiente correspondente será o complexo conjugado, isto é
onde
indica conjugação complexa. (Em muitas convenções os coeficientes são reais, mas não é necessário assumir isso para a prova.)
Passo 4
Agora calculamos explicitamente o produto interno entre dois estados acoplados usando as expansões na base produto. Começamos com
Substituindo as expansões das duas bases em termos da base produto obtemos (mostrando passo a passo):
Aqui usei duas expansões (uma para o bra e outra para o ket) e inseri a resolução da identidade na base produto. Agora aplico a ortonormalidade da base produto:
Isso elimina a soma sobre
e deixa
Passo 5
Troco as expressões pelas definições dos coeficientes (lembrando da conjugação para o bra) e obtenho a relação desejada. Usando
temos
Mas, pela ortonormalidade dos estados acoplados (ver Passo 2), o lado esquerdo é
. Assim chegamos à identidade de ortogonalidade dos coeficientes de Clebsch–Gordan:
Se a convenção de fase adotada torna todos os coeficientes reais (a convenção de Condon–Shortley, por exemplo), os complexos conjugados desaparecem e a fórmula fica exatamente na forma apresentada no enunciado (produto simples dos dois coeficientes). Esta é a demonstração pedida: a expressão é apenas a manifestação, em termos dos coeficientes, da ortonormalidade dos estados acoplados.