Mostre que se
é um operador momento angular, valem as relações:
$\hat{\mathbf{J}}{-} \hat{\mathbf{J}}{+}=\hat{\mathbf{J}}{2}-\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}{\mathbf{2}}-\hbar \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}
onde:
e
são os operadores que representam as componentes cartesianas do operador $\hat{\mathbf{J}}\
$\hat{\mathbf{J}}{-} \hat{\mathbf{J}}{+}=\hat{\mathbf{J}}{2}-\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}{\mathbf{2}}-\hbar \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}
onde:
Passo 1
O enunciado dá as definições das operadores “escalas” (ladder) e pede para demonstrar uma identidade. Informação fornecida:
- As operadores componentes de momento angular são
. - As operadores ladder são
- O que se pede: demonstrar que
Passo 2
Vamos expandir o produto usando as definições. Lembrando que operadores, em geral, não comutam, então a ordem importa. Escrevendo o produto:
Fazendo a multiplicação termo a termo (cuidadosamente com a ordem):
Passo 3
Agrupando os termos quadráticos e o termo que envolve a diferença de ordens, escrevemos com o comutador. Definição do comutador entre dois operadores
e
:
Usando isso, os termos mistos podem ser combinados:
Portanto
Passo 4
Agora usamos a relação fundamental das componentes do momento angular (álgebra de Lie so(3)/su(2)), que vale para os operadores de momento angular:
e as permutações cíclicas análogas. Essa é uma identidade padrão: é a regra que descreve que as componentes do momento angular não comutam e geram as rotações.
Passo 5
Substituindo o comutador na expressão do Passo 3:
Assim
Passo 6
Reconhecemos que o quadrado do operador momento total é
Dessa forma
Substituindo na igualdade do Passo 5 obtemos a identidade desejada:
Passo 7
Resumo rápido de verificação: expandiu-se o produto dos ladder operators, agrupou-se em termos quadráticos e comutador, usou-se a relação
e a definição de
. Se quiser praticar, de forma análoga pode-se demonstrar que
mudando apenas o sinal na parte que vem do comutador.