Mostre que se \hat{\mathbf{J}} é um operador momento angular, valem as relações:
$\hat{\mathbf{J}}{-} \hat{\mathbf{J}}{+}=\hat{\mathbf{J}}{2}-\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}{\mathbf{2}}-\hbar \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}
onde: \hat{\mathbf{J}}_{+}=\left(\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{x}}+\mathbf{i} \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{y}}\right) \quad, \quad \hat{\mathbf{J}}_{-}=\left(\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{x}}-\mathbf{i} \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{y}}\right) e \hat{\mathbf{J}}_{\mathrm{i}}(\mathrm{i}=\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) são os operadores que representam as componentes cartesianas do operador $\hat{\mathbf{J}}\

Passo 1

O enunciado dá as definições das operadores “escalas” (ladder) e pede para demonstrar uma identidade. Informação fornecida:
  • As operadores componentes de momento angular são \hat{\mathbf{J}}_{\mathrm{x}},\hat{\mathbf{J}}_{\mathrm{y}},\hat{\mathbf{J}}_{\mathrm{z}}.
  • As operadores ladder são
\hat{\mathbf{J}}_{+}=\left(\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{x}}+\mathbf{i} \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{y}}\right), \qquad \hat{\mathbf{J}}_{-}=\left(\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{x}}-\mathbf{i} \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{y}}\right).
  • O que se pede: demonstrar que
\hat{\mathbf{J}}_{-} \hat{\mathbf{J}}_{+}=\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}-\hbar \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}.

Passo 2

Vamos expandir o produto usando as definições. Lembrando que operadores, em geral, não comutam, então a ordem importa. Escrevendo o produto:
\hat{\mathbf{J}}_{-}\hat{\mathbf{J}}_{+} =\big(\hat{\mathbf{J}}_{x}-\mathbf{i}\hat{\mathbf{J}}_{y}\big)\big(\hat{\mathbf{J}}_{x}+\mathbf{i}\hat{\mathbf{J}}_{y}\big).
Fazendo a multiplicação termo a termo (cuidadosamente com a ordem):
\hat{\mathbf{J}}_{-}\hat{\mathbf{J}}_{+} =\hat{\mathbf{J}}_{x}\hat{\mathbf{J}}_{x} +\mathbf{i}\hat{\mathbf{J}}_{x}\hat{\mathbf{J}}_{y} -\mathbf{i}\hat{\mathbf{J}}_{y}\hat{\mathbf{J}}_{x} + \hat{\mathbf{J}}_{y}\hat{\mathbf{J}}_{y}.

Passo 3

Agrupando os termos quadráticos e o termo que envolve a diferença de ordens, escrevemos com o comutador. Definição do comutador entre dois operadores A e B:
[A,B]=AB-BA.
Usando isso, os termos mistos podem ser combinados:
\mathbf{i}\hat{\mathbf{J}}_{x}\hat{\mathbf{J}}_{y}-\mathbf{i}\hat{\mathbf{J}}_{y}\hat{\mathbf{J}}_{x} =\mathbf{i}\big(\hat{\mathbf{J}}_{x}\hat{\mathbf{J}}_{y}-\hat{\mathbf{J}}_{y}\hat{\mathbf{J}}_{x}\big) =\mathbf{i}\,[\hat{\mathbf{J}}_{x},\hat{\mathbf{J}}_{y}].
Portanto
\hat{\mathbf{J}}_{-}\hat{\mathbf{J}}_{+} =\hat{\mathbf{J}}_{x}^{2}+\hat{\mathbf{J}}_{y}^{2}+\mathbf{i}\,[\hat{\mathbf{J}}_{x},\hat{\mathbf{J}}_{y}].

Passo 4

Agora usamos a relação fundamental das componentes do momento angular (álgebra de Lie so(3)/su(2)), que vale para os operadores de momento angular:
[\hat{\mathbf{J}}_{x},\hat{\mathbf{J}}_{y}]=\mathbf{i}\hbar\,\hat{\mathbf{J}}_{z},
e as permutações cíclicas análogas. Essa é uma identidade padrão: é a regra que descreve que as componentes do momento angular não comutam e geram as rotações.

Passo 5

Substituindo o comutador na expressão do Passo 3:
\mathbf{i}\,[\hat{\mathbf{J}}_{x},\hat{\mathbf{J}}_{y}] =\mathbf{i}\big(\mathbf{i}\hbar\,\hat{\mathbf{J}}_{z}\big) =\mathbf{i}^{2}\hbar\,\hat{\mathbf{J}}_{z} =-\hbar\,\hat{\mathbf{J}}_{z}.
Assim
\hat{\mathbf{J}}_{-}\hat{\mathbf{J}}_{+} =\hat{\mathbf{J}}_{x}^{2}+\hat{\mathbf{J}}_{y}^{2}-\hbar\,\hat{\mathbf{J}}_{z}.

Passo 6

Reconhecemos que o quadrado do operador momento total é
\hat{\mathbf{J}}^{2}=\hat{\mathbf{J}}_{x}^{2}+\hat{\mathbf{J}}_{y}^{2}+\hat{\mathbf{J}}_{z}^{2}.
Dessa forma
\hat{\mathbf{J}}_{x}^{2}+\hat{\mathbf{J}}_{y}^{2} =\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat{\mathbf{J}}_{z}^{2}.
Substituindo na igualdade do Passo 5 obtemos a identidade desejada:
\hat{\mathbf{J}}_{-}\hat{\mathbf{J}}_{+} =\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat{\mathbf{J}}_{z}^{2}-\hbar\,\hat{\mathbf{J}}_{z}.

Passo 7

Resumo rápido de verificação: expandiu-se o produto dos ladder operators, agrupou-se em termos quadráticos e comutador, usou-se a relação [\hat{\mathbf{J}}_{x},\hat{\mathbf{J}}_{y}]=\mathbf{i}\hbar\hat{\mathbf{J}}_{z} e a definição de \hat{\mathbf{J}}^{2}. Se quiser praticar, de forma análoga pode-se demonstrar que
\hat{\mathbf{J}}_{+}\hat{\mathbf{J}}_{-}=\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat{\mathbf{J}}_{z}^{2}+\hbar\,\hat{\mathbf{J}}_{z},
mudando apenas o sinal na parte que vem do comutador.

Resposta

\hat{\mathbf{J}}_{-} \hat{\mathbf{J}}_{+}=\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}-\hbar \hat{\mathbf{J}}_{\mathbf{z}}

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