Calcule os elementos de matriz dos operadores \hat{\mathbf{J}}_{\mathrm{x}} e \hat{\mathbf{J}}_{\mathrm{y}} na representação das autofunções de \hat{\mathbf{J}}^{2} e \hat{\mathrm{J}}_{\mathrm{z}}. Calcule também o valor médio das grandezas físicas associadas a estes operadores num estado com um valor bem definido de \hat{\mathrm{J}}_{z}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, em linguagem clara:
  • Calcular os elementos de matriz de \hat{\mathbf{J}}_{x} e \hat{\mathbf{J}}_{y} na base de autofunções simultâneas de \hat{\mathbf{J}}^{2} e \hat J_{z}. Essa base é formada pelos vetores \{|j,m\rangle\} com
\hat{\mathbf{J}}^{2}|j,m\rangle=\hbar^{2}j(j+1)|j,m\rangle, \qquad \hat J_{z}|j,m\rangle=\hbar m|j,m\rangle,
onde j é fixo e m\in\{-j,-j+1,\dots,j\}.
  • Calcular o valor médio (expectation value) associado a \hat J_{x} e \hat J_{y} quando o sistema está no estado |j,m\rangle (isto é, um estado com valor bem definido de \hat J_{z}).
Informações úteis fornecidas implicitamente pelo enunciado:
  • A base é ortonormal: \langle j,m'|j,m\rangle=\delta_{m',m}.
  • Queremos explicitamente as entradas \langle j,m'|\hat J_{x}|j,m\rangle e \langle j,m'|\hat J_{y}|j,m\rangle, e depois \langle j,m|\hat J_{x}|j,m\rangle e \langle j,m|\hat J_{y}|j,m\rangle.

Passo 2

Introdução das ferramentas padrão (operadores escalão / ladder) — isto é só definição e notação que vamos usar:
  • Definir os operadores escalão
\hat J_{\pm}=\hat J_{x}\pm i\hat J_{y}.
  • Inverter as definições para obter \hat J_{x} e \hat J_{y} em função de \hat J_{\pm}:
\hat J_{x}=\frac{1}{2}\bigl(\hat J_{+}+\hat J_{-}\bigr), \qquad \hat J_{y}=\frac{1}{2i}\bigl(\hat J_{+}-\hat J_{-}\bigr).
Aqui \hat J_{\pm} são os operadores que, quando atuam sobre |j,m\rangle, mudam m em \pm 1. Explicar o porquê: a partir das relações de comutação [\hat J_{z},\hat J_{\pm}]=\pm \hbar \hat J_{\pm} segue que \hat J_{\pm}|j,m\rangle é proporcional a |j,m\pm1\rangle.

Passo 3

Ação dos operadores escalão e derivação do fator de normalização (passo importante e didático):
  • Escrevemos a ação com um coeficiente desconhecido C_{\pm}(j,m):
\hat J_{\pm}|j,m\rangle = C_{\pm}(j,m)\,|j,m\pm 1\rangle.
  • Para encontrar C_{\pm}(j,m) usamos operadores conhecidos. Considere
\langle j,m|\hat J_{\mp}\hat J_{\pm}|j,m\rangle=\| \hat J_{\pm}|j,m\rangle\|^{2}=|C_{\pm}(j,m)|^{2}.
  • Mas \hat J_{\mp}\hat J_{\pm}=\hat{\mathbf{J}}^{2}-\hat J_{z}^{2}\mp \hbar\hat J_{z}. Aplicando em |j,m\rangle e usando os autovalores obtemos
|C_{\pm}(j,m)|^{2}=\hbar^{2}\bigl[j(j+1)-m(m\pm 1)\bigr].
  • Tomando a fase convencional positiva, escolhemos
C_{\pm}(j,m)=\hbar\sqrt{\,j(j+1)-m(m\pm 1)\,}.
Portanto, a ação padrão (fórmula fundamental) é
\hat J_{\pm}|j,m\rangle=\hbar\sqrt{\,j(j+1)-m(m\pm 1)\,}\;|j,m\pm 1\rangle.
Explicação rápida do que significa cada símbolo: j e m são os números quânticos do estado; \hbar é a constante de Planck reduzida; a raiz garante a normalização correta do estado resultante.

Passo 4

Cálculo explícito dos elementos de matriz de \hat J_{x} e \hat J_{y}:
  • Usar as expressões de \hat J_{x} e \hat J_{y} em termos de \hat J_{\pm} e a ação dos escalões:
\langle j,m'|\hat J_{x}|j,m\rangle =\frac{1}{2}\bigl(\langle j,m'|\hat J_{+}|j,m\rangle+\langle j,m'|\hat J_{-}|j,m\rangle\bigr).
Como \hat J_{+} conecta m\to m+1 e \hat J_{-} conecta m\to m-1, só há contribuições quando m'=m\pm 1. Calculando os coeficientes obtemos a forma final:
\boxed{\displaystyle \langle j,m'|\hat J_{x}|j,m\rangle =\frac{\hbar}{2}\Biggl(\sqrt{\,j(j+1)-m(m+1)\,}\,\delta_{m',m+1} +\sqrt{\,j(j+1)-m(m-1)\,}\,\delta_{m',m-1}\Biggr).}
  • De forma análoga para \hat J_{y}:
\langle j,m'|\hat J_{y}|j,m\rangle =\frac{1}{2i}\bigl(\langle j,m'|\hat J_{+}|j,m\rangle-\langle j,m'|\hat J_{-}|j,m\rangle\bigr),
o que dá
\boxed{\displaystyle \langle j,m'|\hat J_{y}|j,m\rangle =\frac{\hbar}{2i}\Biggl(\sqrt{\,j(j+1)-m(m+1)\,}\,\delta_{m',m+1} -\sqrt{\,j(j+1)-m(m-1)\,}\,\delta_{m',m-1}\Biggr).}
  • Comentário prático: as matrizes são tri-diagonais (apenas elementos na super- e sub-diagonal imediata podem ser não nulos). Em particular, as componentes diagonais \langle j,m|\hat J_{x}|j,m\rangle e \langle j,m|\hat J_{y}|j,m\rangle são zero (nenhuma contribuição para m'=m).

Passo 5

Exemplos simples para fixar a intuição (apenas números, para você poder ver “na prática”):
  • Para j=\tfrac{1}{2} (base m=+\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}) obtemos as matrizes 2\times2
\hat J_{x}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad \hat J_{y}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}0 & -i \\[4pt] i & 0\end{pmatrix},
que são exatamente \tfrac{\hbar}{2} vezes as matrizes de Pauli \sigma_x e \sigma_y.
  • Para j=1 (base m=1,0,-1) os elementos não nulos valem \hbar/\sqrt{2} entre m=1\leftrightarrow 0 e 0\leftrightarrow -1. Por exemplo
\hat J_{x}=\hbar\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt] \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}, \qquad \hat J_{y}=\hbar\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{i}{\sqrt{2}} & 0\\[4pt] \tfrac{i}{\sqrt{2}} & 0 & -\tfrac{i}{\sqrt{2}}\\[4pt] 0 & \tfrac{i}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.
Esses exemplos ajudam a ver que as fórmulas gerais reduzem a matrizes simples em casos concretos.]

Passo 6

Cálculo dos valores médios (expectation values) em um estado |j,m\rangle e das dispersões mais relevantes:
  • Expectation values de \hat J_{x} e \hat J_{y} em |j,m\rangle:
\langle j,m|\hat J_{x}|j,m\rangle=0, \qquad \langle j,m|\hat J_{y}|j,m\rangle=0,
porque, conforme observado, \hat J_{x} e \hat J_{y} só têm elementos que conectam m a m\pm 1, logo os elementos diagonais são nulos.
  • Para ver a incerteza/variação (útil para interpretar medidas): use
\hat{\mathbf{J}}^{2}=\hat J_{x}^{2}+\hat J_{y}^{2}+\hat J_{z}^{2}.
Tomando esperança em |j,m\rangle
\langle j,m|\hat J_{x}^{2}+\hat J_{y}^{2}|j,m\rangle =\hbar^{2}j(j+1)-\hbar^{2}m^{2}=\hbar^{2}\bigl[j(j+1)-m^{2}\bigr].
Por simetria entre x e y (no estado |j,m\rangle não há preferência entre x e y) obtemos
\boxed{\displaystyle \langle j,m|\hat J_{x}^{2}|j,m\rangle =\langle j,m|\hat J_{y}^{2}|j,m\rangle =\frac{\hbar^{2}}{2}\bigl[j(j+1)-m^{2}\bigr].}
  • Comentário intuitivo: \langle \hat J_{x}\rangle=\langle \hat J_{y}\rangle=0 não significa que J_x e J_y são nulos com certeza; elas têm dispersão dada pelas fórmulas acima. Isso é a origem do princípio de incerteza angular: um valor bem definido de J_z implica incerteza nas componentes transversais.

Resposta

\displaystyle \langle j,m'|\hat J_{x}|j,m\rangle =\frac{\hbar}{2}\Bigl(\sqrt{\,j(j+1)-m(m+1)\,}\,\delta_{m',m+1} +\sqrt{\,j(j+1)-m(m-1)\,}\,\delta_{m',m-1}\Bigr)
\displaystyle \langle j,m'|\hat J_{y}|j,m\rangle =\frac{\hbar}{2i}\Bigl(\sqrt{\,j(j+1)-m(m+1)\,}\,\delta_{m',m+1} -\sqrt{\,j(j+1)-m(m-1)\,}\,\delta_{m',m-1}\Bigr)
\displaystyle \langle j,m|\hat J_{x}|j,m\rangle=0,\qquad \langle j,m|\hat J_{y}|j,m\rangle=0
\displaystyle \langle j,m|\hat J_{x}^{2}|j,m\rangle =\langle j,m|\hat J_{y}^{2}|j,m\rangle =\frac{\hbar^{2}}{2}\bigl[j(j+1)-m^{2}\bigr]

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