Calcule os elementos de matriz dos operadores \hat{\mathbf{J}}_{\mathrm{x}} e \hat{\mathbf{J}}_{\mathrm{y}} na representação das autofunções de \hat{\mathbf{J}}^{2} e \hat{\mathrm{J}}_{\mathrm{z}}. Calcule também o valor médio das grandezas físicas associadas a estes operadores num estado com um valor bem definido de \hat{\mathrm{J}}_{z}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, em linguagem clara:
Calcular os elementos de matriz de \hat{\mathbf{J}}_{x} e \hat{\mathbf{J}}_{y} na base de autofunções simultâneas de \hat{\mathbf{J}}^{2} e \hat J_{z}. Essa base é formada pelos vetores \{|j,m\rangle\} com
Calcular o valor médio (expectation value) associado a \hat J_{x} e \hat J_{y} quando o sistema está no estado |j,m\rangle (isto é, um estado com valor bem definido de \hat J_{z}).
Informações úteis fornecidas implicitamente pelo enunciado:
A base é ortonormal: \langle j,m'|j,m\rangle=\delta_{m',m}.
Queremos explicitamente as entradas \langle j,m'|\hat J_{x}|j,m\rangle e \langle j,m'|\hat J_{y}|j,m\rangle, e depois \langle j,m|\hat J_{x}|j,m\rangle e \langle j,m|\hat J_{y}|j,m\rangle.
Passo 2
Introdução das ferramentas padrão (operadores escalão / ladder) — isto é só definição e notação que vamos usar:
Definir os operadores escalão
\hat J_{\pm}=\hat J_{x}\pm i\hat J_{y}.
Inverter as definições para obter \hat J_{x} e \hat J_{y} em função de \hat J_{\pm}:
Aqui \hat J_{\pm} são os operadores que, quando atuam sobre |j,m\rangle, mudam m em \pm 1. Explicar o porquê: a partir das relações de comutação [\hat J_{z},\hat J_{\pm}]=\pm \hbar \hat J_{\pm} segue que \hat J_{\pm}|j,m\rangle é proporcional a |j,m\pm1\rangle.
Passo 3
Ação dos operadores escalão e derivação do fator de normalização (passo importante e didático):
Escrevemos a ação com um coeficiente desconhecido C_{\pm}(j,m):
Explicação rápida do que significa cada símbolo: j e m são os números quânticos do estado; \hbar é a constante de Planck reduzida; a raiz garante a normalização correta do estado resultante.
Passo 4
Cálculo explícito dos elementos de matriz de \hat J_{x} e \hat J_{y}:
Usar as expressões de \hat J_{x} e \hat J_{y} em termos de \hat J_{\pm} e a ação dos escalões:
Como \hat J_{+} conecta m\to m+1 e \hat J_{-} conecta m\to m-1, só há contribuições quando m'=m\pm 1. Calculando os coeficientes obtemos a forma final:
Comentário prático: as matrizes são tri-diagonais (apenas elementos na super- e sub-diagonal imediata podem ser não nulos). Em particular, as componentes diagonais \langle j,m|\hat J_{x}|j,m\rangle e \langle j,m|\hat J_{y}|j,m\rangle são zero (nenhuma contribuição para m'=m).
Passo 5
Exemplos simples para fixar a intuição (apenas números, para você poder ver “na prática”):
Para j=\tfrac{1}{2} (base m=+\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}) obtemos as matrizes 2\times2
Comentário intuitivo: \langle \hat J_{x}\rangle=\langle \hat J_{y}\rangle=0 não significa que J_x e J_y são nulos com certeza; elas têm dispersão dada pelas fórmulas acima. Isso é a origem do princípio de incerteza angular: um valor bem definido de J_z implica incerteza nas componentes transversais.