1. Ache uma base e a dimensão do subespaço W de \mathbb{R}^{4} gerado por w_{1}=(-1,4,2,-1); w_{2}=(1,-3,-1,2) e w_{3}=(4,-10,-2,10). Estenda a base de W a uma base de todo \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Encontrar uma base de W e a dimensão de W, onde W é o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado por w_{1}=(-1,4,2,-1),\qquad w_{2}=(1,-3,-1,2),\qquad w_{3}=(4,-10,-2,10).
  • Estender a base encontrada de W para obter uma base de todo \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas:
  • Os três vetores w_{1},w_{2},w_{3} em \mathbb{R}^4.
O que vamos determinar mais adiante:
  • Se esses vetores são linearmente independentes ou não.
  • Uma base de W (conjunto de vetores que geram W e são linearmente independentes).
  • A dimensão de W (número de vetores em qualquer base de W).
  • Dois vetores adicionais que, com a base de W, formem uma base de \mathbb{R}^4.

Passo 2

Conceitos rápidos e úteis (explicados de forma simples):
  • Span/geração: dizer que w_{1},w_{2},w_{3} geram W significa que W=\{a w_{1}+b w_{2}+c w_{3}\mid a,b,c\in\mathbb{R}\}.
  • Base: um conjunto de vetores é base de um subespaço se gera o subespaço e é linearmente independente.
  • Linearmente independente: vetores v_1,\dots,v_k são linearmente independentes se a única solução da equação \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
  • Dimensão: número de vetores em qualquer base do subespaço.
Método prático que usaremos:
  • Verificar se w_{1},w_{2},w_{3} são linearmente independentes resolvendo combinações lineares ou mostrando que um deles é combinação linear dos outros (mais rápido).
  • Se algum for combinação linear dos outros, retiramos o dependente para obter uma base.
  • Para estender a base de W até \mathbb{R}^4, adicionamos vetores que não pertençam a \operatorname{span}\{\,\text{base de }W\,\} até ter 4 vetores total—então mostramos que o conjunto todo é independente.

Passo 3

Testar se w_{3}\) está no span de \(w_{1}\) e \(w_{2}\) (isto costuma ser o caso quando se vê um vetor com componentes parecidas): Procuramos \(a,b\) tais que \[a w_{1}+b w_{2}=w_{3}.
Escrevendo componente a componente:
\begin{cases} -a + b = 4,\\[4pt] 4a -3b = -10,\\[4pt] 2a - b = -2,\\[4pt] - a + 2b = 10. \end{cases}
Da primeira equação -a+b=4\] obtemos \(b=4+a.
Substituímos na segunda: 4a-3(4+a)=-10. Isso dá
4a-12-3a=-10 \quad\Longrightarrow\quad a-12=-10\quad\Longrightarrow\quad a=2.
Então b=4+a=6.
Verificamos as outras componentes:
  • Terceira: 2a-b=2\cdot2-6=4-6=-2, que coincide com a componente 3 de w_3.
  • Quarta: -a+2b=-2+12=10, que coincide com a componente 4 de w_3.
Portanto
w_{3}=2 w_{1}+6 w_{2},
ou seja, w_{3} é combinação linear de w_{1} e w_{2}. Conclusão: os três vetores são linearmente dependentes e podemos descartar w_{3} ao construir uma base de W.]

Passo 4

Agora verificamos se w_{1}\) e \(w_{2}\) são linearmente independentes. Procuramos \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha w_{1}+\beta w_{2}=0.
Componentes:
\begin{cases} -\alpha+\beta=0,\\[4pt] 4\alpha-3\beta=0,\\[4pt] 2\alpha-\beta=0,\\[4pt] -\alpha+2\beta=0. \end{cases}
Da primeira equação temos \beta=\alpha\]. Substituindo na segunda: \(4\alpha-3\alpha=\alpha=0. Logo \alpha=0 e \beta=0. Então a única solução é trivial, ou seja, w_{1} e w_{2} são linearmente independentes.
Como w_{3} é combinação linear de w_{1},w_{2}, o conjunto \{w_{1},w_{2}\} gera W e é independente, portanto é uma base de W.
A dimensão de W é o número de vetores na base: \dim W=2.]

Passo 5

Agora vamos estender a base \{w_{1},w_{2}\}\) a uma base de \(\mathbb{R}^4\). Estratégia: acrescentar vetores padrão simples que não estejam em \(\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\}\). Vou escolher os vetores padrão \[e_{3}=(0,0,1,0),\qquad e_{4}=(0,0,0,1).
Precisamos mostrar que o conjunto \{w_{1},w_{2},e_{3},e_{4}\} é linearmente independente (então será uma base de \mathbb{R}^4 porque tem 4 vetores em \mathbb{R}^4).
Considere a combinação linear
\alpha w_{1}+\beta w_{2}+\gamma e_{3}+\delta e_{4}=0.
Escrevendo componentes:
\begin{cases} -\alpha+\beta = 0,\\[4pt] 4\alpha-3\beta = 0,\\[4pt] 2\alpha-\beta+\gamma = 0,\\[4pt] -\alpha+2\beta+\delta = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações segue, como antes, que \beta=\alpha\] e então \(\alpha=0. Substituindo \alpha=0,\beta=0 nas últimas duas equações obtemos \gamma=0 e \delta=0. Logo a única solução é \alpha=\beta=\gamma=\delta=0. Portanto o conjunto é linearmente independente.
Como temos 4 vetores independentes em \mathbb{R}^4, eles formam uma base de \mathbb{R}^4. Assim estendemos a base de W a uma base de \mathbb{R}^4.]

Resposta

Base de W: \{\,(-1,4,2,-1),\\ (1,-3,-1,2)\,\}
\dim W = 2
Base de \mathbb{R}^4 estendida: \{\,(-1,4,2,-1),\\ (1,-3,-1,2),\\ (0,0,1,0),\\ (0,0,0,1)\,\}

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