1. Seja W o subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores v_{1}=(1,-2,3,-3) ; v_{2}=(2,3,1,-4); v_{3}=(3,8,-3,-5).
(b) Estenda a base de W a uma base de todo o espaço \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço W de \mathbb{R}^{4} gerado pelos vetores
v_{1}=(1,-2,3,-3),\qquad v_{2}=(2,3,1,-4),\qquad v_{3}=(3,8,-3,-5).
A pergunta (parte (b)) é: estender uma base de W a uma base de todo o espaço \mathbb{R}^{4}.
Ou seja: encontrar um vetor (ou vetores) em \mathbb{R}^{4} que, junto com uma base de W, formem uma base de \mathbb{R}^{4}.

Passo 2

Primeiro preciso saber qual é a dimensão de W e se os três vetores dados já são linearmente independentes (isto dita se já tenho uma base de W entre eles). Se os três forem independentes, então \dim W=3 e basta acrescentar um vetor fora do \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} para obter uma base de \mathbb{R}^4. Vou testar a independência por eliminação de Gauss (montando a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3).

Passo 3

Matriz com as colunas v_{1},v_{2},v_{3}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] -2 & 3 & 8\\[4pt] 3 & 1 & -3\\[4pt] -3 & -4 & -5 \end{pmatrix}.
Vou eliminar abaixo da primeira coluna (usar operações elementares nas linhas):
  1. R_2\leftarrow R_2+2R_1, R_3\leftarrow R_3-3R_1, R_4\leftarrow R_4+3R_1. Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 7 & 14\\[4pt] 0 & -5 & -12\\[4pt] 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
  1. Agora eliminar abaixo da segunda coluna. Use R_3\leftarrow R_3+\dfrac{5}{7}R_2 e R_4\leftarrow R_4-\dfrac{2}{7}R_2. Cálculos:
R_3:\quad -12+\frac{5}{7}\cdot 14 = -12+10=-2, \qquad R_4:\quad 4-\frac{2}{7}\cdot 14=4-4=0.
Após essas operações obtemos a forma triangular:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 7 & 14\\[4pt] 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Da forma triangular fica claro que há três pivôs (colunas com pivô nas linhas correspondentes): primeira, segunda e terceira colunas. Logo \operatorname{rank}(A)=3.]

Passo 4

Como \operatorname{rank}(A)=3, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de W. Então \dim W=3. Para estender essa base até uma base de \mathbb{R}^{4} precisamos acrescentar exatamente um vetor u\in\mathbb{R}^{4} que não pertença a \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
Uma escolha natural e simples é o vetor canônico
e_{4}=(0,0,0,1).
Agora preciso mostrar que e_{4}\not\in\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}. Para isso verifico se o sistema
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=e_{4}
tem solução. Montando a matriz aumentada [A\mid e_{4}] e repetindo as mesmas operações de linha que fiz acima:
Matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\[4pt] -2 & 3 & 8 & 0\\[4pt] 3 & 1 & -3 & 0\\[4pt] -3 & -4 & -5 & 1 \end{array}\right).
Aplicando as mesmas operações de antes (as três operações do Passo 3) obtemos
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 7 & 14 & 0\\[4pt] 0 & -5 & -12 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 4 & 1 \end{array}\right).
Depois, ao eliminar abaixo da segunda coluna com as mesmas combinações:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 7 & 14 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
A última linha dá a equação 0=1, uma contradição. Portanto o sistema é incompatível: não existe (c_1,c_2,c_3) tal que c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=e_{4}. Conclusão: e_{4}\not\in\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.]

Passo 5

Como v_{1},v_{2},v_{3} são independentes e e_{4} não está no seu espaço gerado, o conjunto
\{\,v_{1},v_{2},v_{3},e_{4}\,\}
é linearmente independente em \mathbb{R}^{4} e tem quatro vetores; portanto é uma base de \mathbb{R}^{4}. Assim extendi a base de W a uma base de \mathbb{R}^{4}.
(Dica rápida: qualquer vetor que não seja combinação linear de v_1,v_2,v_3 serve; escolhi e_4 por simplicidade porque a verificação dá uma contradição óbvia.)

Resposta

\{(1,-2,3,-3),\;(2,3,1,-4),\;(3,8,-3,-5),\;(0,0,0,1)\}

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