A pergunta (parte (b)) é: estender uma base de W a uma base de todo o espaço \mathbb{R}^{4}.
Ou seja: encontrar um vetor (ou vetores) em \mathbb{R}^{4} que, junto com uma base de W, formem uma base de \mathbb{R}^{4}.
Passo 2
Primeiro preciso saber qual é a dimensão de W e se os três vetores dados já são linearmente independentes (isto dita se já tenho uma base de W entre eles). Se os três forem independentes, então \dim W=3 e basta acrescentar um vetor fora do \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} para obter uma base de \mathbb{R}^4. Vou testar a independência por eliminação de Gauss (montando a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3).
Da forma triangular fica claro que há três pivôs (colunas com pivô nas linhas correspondentes): primeira, segunda e terceira colunas. Logo \operatorname{rank}(A)=3.]
Passo 4
Como \operatorname{rank}(A)=3, os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de W. Então \dim W=3. Para estender essa base até uma base de \mathbb{R}^{4} precisamos acrescentar exatamente um vetor u\in\mathbb{R}^{4} que não pertença a \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.
Uma escolha natural e simples é o vetor canônico
e_{4}=(0,0,0,1).
Agora preciso mostrar que e_{4}\not\in\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}. Para isso verifico se o sistema
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=e_{4}
tem solução. Montando a matriz aumentada [A\mid e_{4}] e repetindo as mesmas operações de linha que fiz acima:
A última linha dá a equação 0=1, uma contradição. Portanto o sistema é incompatível: não existe (c_1,c_2,c_3) tal que c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+c_{3}v_{3}=e_{4}. Conclusão: e_{4}\not\in\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}.]
Passo 5
Como v_{1},v_{2},v_{3} são independentes e e_{4} não está no seu espaço gerado, o conjunto
\{\,v_{1},v_{2},v_{3},e_{4}\,\}
é linearmente independente em \mathbb{R}^{4} e tem quatro vetores; portanto é uma base de \mathbb{R}^{4}. Assim extendi a base de W a uma base de \mathbb{R}^{4}.
(Dica rápida: qualquer vetor que não seja combinação linear de v_1,v_2,v_3 serve; escolhi e_4 por simplicidade porque a verificação dá uma contradição óbvia.)