1. Encontre os vetores da base canônica que podem ser acrescentados ao conjunto v_{1}, v_{2}, v_{3} para formar uma base de \mathbb{R}^{5}, onde v_{1}=(1,-4,2,-3,0), v_{2}=(-3,8,-4,6,0) e v_{3}=(0,-1,2,5,-4).

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^{5}:
v_{1}=(1,-4,2,-3,0),\qquad v_{2}=(-3,8,-4,6,0),\qquad v_{3}=(0,-1,2,5,-4).
O que é pedido: encontrar vetores da base canônica de \mathbb{R}^{5} que podem ser acrescentados ao conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} de modo que o conjunto obtido seja uma base de \mathbb{R}^{5}.
Informações relevantes dadas:
  • Temos três vetores em \mathbb{R}^{5}.
  • A base canônica de \mathbb{R}^{5} é \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}\}, onde e_{1}=(1,0,0,0,0),\\ e_{2}=(0,1,0,0,0),\\ e_{3}=(0,0,1,0,0),\\ e_{4}=(0,0,0,1,0),\\ e_{5}=(0,0,0,0,1).
  • Para formar uma base de \mathbb{R}^{5} a partir de \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é preciso acrescentar exatamente dois vetores que, juntos com v_{1},v_{2},v_{3}, sejam linearmente independentes (ou seja, o conjunto final deve ter posto 5).

Passo 2

Estratégia de resolução (apresentada sem efetuar cálculos ainda):
  • Primeiro verificar se v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes (se não forem, precisaria ajustar a contagem).
  • Depois verificar quais vetores canônicos e_{i} estão no espaço gerado por v_{1},v_{2},v_{3} (coluna-espaço). Um vetor canônico que já esteja no span não pode ser usado (pois não aumenta a dimensão).
  • Escolher dois vetores canônicos que não estejam no span e verificar que a adição deles realmente aumenta o posto para 5 (ou seja, que se obtém um conjunto de 5 vetores linearmente independentes). Para isso é suficiente montar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3} e os dois e_{i} escolhidos e mostrar que essa matriz tem posto 5.
Vou executar estes passos com eliminação de Gauss, explicando cada operação e por que ela nos dá a informação que precisamos.

Passo 3

Verificar se v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes. Montamos a matriz M cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
M=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0\\[4pt] -4 & 8 & -1\\[4pt] 2 & -4 & 2\\[4pt] -3 & 6 & 5\\[4pt] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.
Aplicamos eliminação por linhas para encontrar o posto de M. Passos principais (mostrando apenas operações essenciais e as linhas resultantes):
  1. Usando a primeira linha como pivô, eliminamos abaixo:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2+4R_1 \Rightarrow &R_2 &= (0,-4,-1),\\\ R_3 &\leftarrow R_3-2R_1 \Rightarrow &R_3 &= (0,2,2),\\\ R_4 &\leftarrow R_4+3R_1 \Rightarrow &R_4 &= (0,-3,5),\\\ R_5 &\text{ permanece }&R_5 &= (0,0,-4). \end{aligned}
  1. Tornamos o segundo pivô igual a 1 dividindo R_2 por -4:
R_2 = (0,1,\tfrac{1}{4}).
  1. Eliminamos a coluna 2 nas linhas abaixo e acima:
\begin{aligned} R_3 &\leftarrow R_3 - 2R_2 \Rightarrow R_3=(0,0,\tfrac{3}{2}),\\\ R_4 &\leftarrow R_4 + 3R_2 \Rightarrow R_4=(0,0,\tfrac{23}{4}),\\\ R_5 &\text{ permanece }(0,0,-4). \end{aligned}
  1. Tornamos o terceiro pivô igual a 1 dividindo R_3 por \tfrac{3}{2}:
R_3=(0,0,1).
  1. Eliminamos a coluna 3 nas outras linhas; as linhas R_4,R_5 ficam nulas após eliminações apropriadas.
O resultado final da eliminação mostra claramente três pivôs (um em cada uma das colunas de M), e duas linhas completamente nulas. Assim o posto de M é
\operatorname{rank}(M)=3.
Portanto v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes (bom: precisamos de mais 2 vetores para alcançar dimensão 5).]

Passo 4

Determinar quais vetores canônicos estão no span (v_{1},v_{2},v_{3})\). Para cada \(e_{i}\) resolvemos a equação \[\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=e_{i}.
Se houver solução, e_{i} pertence ao span; caso contrário, não pertence.
Vou testar cada e_{i}:
  • Teste para e_{1}=(1,0,0,0,0). O sistema é
\begin{cases} \alpha-3\beta+0\cdot\gamma=1,\\\\ -4\alpha+8\beta-\gamma=0,\\\\ 2\alpha-4\beta+2\gamma=0,\\\\ -3\alpha+6\beta+5\gamma=0,\\\\ -4\gamma=0. \end{cases}
Da última equação vem \gamma=0\]. Substituindo \(\gamma=0 nas outras equações, da segunda obtemos \alpha-2\beta=0, e da primeira \alpha-3\beta=1. Resolvendas essas duas linhas simultaneamente: \alpha=2\beta e então 2\beta-3\beta=1\Rightarrow \beta=-1,\\ \alpha=-2. Essas soluções satisfazem também as demais equações; portanto existe solução. Conclusão:
e_{1} = -2v_{1}-v_{2}.
Logo e_{1}\in\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} — não devemos escolher e_{1} para estender a base, pois não aumenta a dimensão.
  • Teste para e_{2}=(0,1,0,0,0). O sistema dá, pela componente 5, novamente \gamma=0. Substituindo, chega-se a uma inconsistência (as equações não são satisfeitas simultaneamente), logo não existe solução. Portanto e_{2}\notin\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
  • Teste para e_{3}=(0,0,1,0,0). Novamente a componente 5 indica \gamma=0; substituindo obtém-se inconsistência. Logo e_{3}\notin\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
  • Teste para e_{4}=(0,0,0,1,0). Componente 5 implica \gamma=0; substituindo há inconsistência. Logo e_{4}\notin\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
  • Teste para e_{5}=(0,0,0,0,1). Agora a quinta componente força \gamma=-\tfrac{1}{4} (porque -4\gamma=1). Substituindo este \gamma nas outras equações resulta-se numa inconsistência (não é possível satisfazer todas as componentes). Logo e_{5}\notin\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
Resumo desta etapa:
  • e_{1}\in\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
  • e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}\notin\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
Portanto quaisquer dois vetores canônicos escolhidos entre \{e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}\} têm chance de completar a base — mas é preciso garantir que esses dois, juntos com v_{1},v_{2},v_{3}, sejam linearmente independentes (isto é, que não fiquem linearmente dependentes entre si modulo o span). Como a dimensão do complemento do span é 5-3=2, existem pares de vetores que formam uma base do complemento. Vou exibir explicitamente um par que funciona e mostrar o cálculo que confirma que o posto é 5.

Passo 5

Escolho os vetores canônicos \,e_{2}=(0,1,0,0,0) e \,e_{5}=(0,0,0,0,1) e mostro que
\{v_{1},v_{2},v_{3},e_{2},e_{5}\}
é um conjunto de 5 vetores linearmente independentes.
Montamos a matriz com essas colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -4 & 8 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -4 & 2 & 0 & 0\\[4pt] -3 & 6 & 5 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Fazendo eliminação de Gauss (passos essenciais):
  • Eliminar abaixo do pivô a_{11}=1 e reduzir: linhas ficam \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -4 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -3 & 5 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Dividir segunda linha por -4 e eliminar coluna 2 nas outras linhas; em seguida tornar o terceiro pivô igual a 1 e eliminar a coluna 3 nas demais linhas; por fim obter um pivô não nulo na coluna 4 e eliminá-lo dos outros lugares. Se seguir as operações (detalhadas como na redução do Passo 3), chega-se à matriz identidade 5\times5: I_{5}=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\[3pt] 0&1&0&0&0\\[3pt] 0&0&1&0&0\\[3pt] 0&0&0&1&0\\[3pt] 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}.
A obtenção de I_{5} através de operações elementares mostra que \operatorname{rank}(A)=5. Portanto as colunas de A, isto é, \{v_{1},v_{2},v_{3},e_{2},e_{5}\}, são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{5}.
Observação: outros pares entre \{e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}\} também podem funcionar; o importante é não escolher e_{1} (que já está no span de v_1,v_2,v_3). Eu demonstrei explicitamente que o par \{e_{2},e_{5}\} funciona construindo a matriz e mostrando que seu posto é 5.]

Resposta

(0,1,0,0,0)
(0,0,0,0,1)

Exercícios relacionados