Encontre os vetores da base canônica que podem ser acrescentados ao conjunto v_{1}, v_{2}, v_{3} para formar uma base de \mathbb{R}^{5}, onde v_{1}=(1,-4,2,-3,0), v_{2}=(-3,8,-4,6,0) e v_{3}=(0,-1,2,5,-4).
Passo 1
O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^{5}:
O que é pedido: encontrar vetores da base canônica de \mathbb{R}^{5} que podem ser acrescentados ao conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} de modo que o conjunto obtido seja uma base de \mathbb{R}^{5}.
Informações relevantes dadas:
Temos três vetores em \mathbb{R}^{5}.
A base canônica de \mathbb{R}^{5} é \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}\}, ondee_{1}=(1,0,0,0,0),\\ e_{2}=(0,1,0,0,0),\\ e_{3}=(0,0,1,0,0),\\ e_{4}=(0,0,0,1,0),\\ e_{5}=(0,0,0,0,1).
Para formar uma base de \mathbb{R}^{5} a partir de \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é preciso acrescentar exatamente dois vetores que, juntos com v_{1},v_{2},v_{3}, sejam linearmente independentes (ou seja, o conjunto final deve ter posto 5).
Passo 2
Estratégia de resolução (apresentada sem efetuar cálculos ainda):
Primeiro verificar se v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes (se não forem, precisaria ajustar a contagem).
Depois verificar quais vetores canônicos e_{i} estão no espaço gerado por v_{1},v_{2},v_{3} (coluna-espaço). Um vetor canônico que já esteja no span não pode ser usado (pois não aumenta a dimensão).
Escolher dois vetores canônicos que não estejam no span e verificar que a adição deles realmente aumenta o posto para 5 (ou seja, que se obtém um conjunto de 5 vetores linearmente independentes). Para isso é suficiente montar a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3} e os dois e_{i} escolhidos e mostrar que essa matriz tem posto 5.
Vou executar estes passos com eliminação de Gauss, explicando cada operação e por que ela nos dá a informação que precisamos.
Passo 3
Verificar se v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes. Montamos a matriz M cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3}:
Tornamos o terceiro pivô igual a 1 dividindo R_3 por \tfrac{3}{2}:
R_3=(0,0,1).
Eliminamos a coluna 3 nas outras linhas; as linhas R_4,R_5 ficam nulas após eliminações apropriadas.
O resultado final da eliminação mostra claramente três pivôs (um em cada uma das colunas de M), e duas linhas completamente nulas. Assim o posto de M é
\operatorname{rank}(M)=3.
Portanto v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes (bom: precisamos de mais 2 vetores para alcançar dimensão 5).]
Passo 4
Determinar quais vetores canônicos estão no span(v_{1},v_{2},v_{3})\). Para cada \(e_{i}\) resolvemos a equação
\[\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}=e_{i}.
Se houver solução, e_{i} pertence ao span; caso contrário, não pertence.
Da última equação vem \gamma=0\]. Substituindo \(\gamma=0 nas outras equações, da segunda obtemos \alpha-2\beta=0, e da primeira \alpha-3\beta=1. Resolvendas essas duas linhas simultaneamente: \alpha=2\beta e então 2\beta-3\beta=1\Rightarrow \beta=-1,\\ \alpha=-2. Essas soluções satisfazem também as demais equações; portanto existe solução. Conclusão:
e_{1} = -2v_{1}-v_{2}.
Logo e_{1}\in\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\} — não devemos escolher e_{1} para estender a base, pois não aumenta a dimensão.
Teste para e_{2}=(0,1,0,0,0). O sistema dá, pela componente 5, novamente \gamma=0. Substituindo, chega-se a uma inconsistência (as equações não são satisfeitas simultaneamente), logo não existe solução. Portanto e_{2}\notin\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
Teste para e_{3}=(0,0,1,0,0). Novamente a componente 5 indica \gamma=0; substituindo obtém-se inconsistência. Logo e_{3}\notin\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
Teste para e_{4}=(0,0,0,1,0). Componente 5 implica \gamma=0; substituindo há inconsistência. Logo e_{4}\notin\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
Teste para e_{5}=(0,0,0,0,1). Agora a quinta componente força \gamma=-\tfrac{1}{4} (porque -4\gamma=1). Substituindo este \gamma nas outras equações resulta-se numa inconsistência (não é possível satisfazer todas as componentes). Logo e_{5}\notin\operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
Portanto quaisquer dois vetores canônicos escolhidos entre \{e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}\} têm chance de completar a base — mas é preciso garantir que esses dois, juntos com v_{1},v_{2},v_{3}, sejam linearmente independentes (isto é, que não fiquem linearmente dependentes entre si modulo o span). Como a dimensão do complemento do span é 5-3=2, existem pares de vetores que formam uma base do complemento. Vou exibir explicitamente um par que funciona e mostrar o cálculo que confirma que o posto é 5.
Passo 5
Escolho os vetores canônicos \,e_{2}=(0,1,0,0,0) e \,e_{5}=(0,0,0,0,1) e mostro que
\{v_{1},v_{2},v_{3},e_{2},e_{5}\}
é um conjunto de 5 vetores linearmente independentes.
Dividir segunda linha por -4 e eliminar coluna 2 nas outras linhas; em seguida tornar o terceiro pivô igual a 1 e eliminar a coluna 3 nas demais linhas; por fim obter um pivô não nulo na coluna 4 e eliminá-lo dos outros lugares. Se seguir as operações (detalhadas como na redução do Passo 3), chega-se à matriz identidade 5\times5:I_{5}=\begin{pmatrix} 1&0&0&0&0\\[3pt] 0&1&0&0&0\\[3pt] 0&0&1&0&0\\[3pt] 0&0&0&1&0\\[3pt] 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}.
A obtenção de I_{5} através de operações elementares mostra que \operatorname{rank}(A)=5. Portanto as colunas de A, isto é, \{v_{1},v_{2},v_{3},e_{2},e_{5}\}, são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{5}.
Observação: outros pares entre \{e_{2},e_{3},e_{4},e_{5}\} também podem funcionar; o importante é não escolher e_{1} (que já está no span de v_1,v_2,v_3). Eu demonstrei explicitamente que o par \{e_{2},e_{5}\} funciona construindo a matriz e mostrando que seu posto é 5.]