- Encontre uma base para os seguintes subespaços do
:
(a) Todos os vetores da forma
, onde
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma base para o subespaço de
formado por todos os vetores da forma
sujeitos à condição
.
Informações dadas:
- Vetores gerais do subespaço têm coordenadas
com . - Há a restrição imposta:
. - O que se quer: uma base para esse subespaço (ou seja, um conjunto de vetores que gere o subespaço e seja linearmente independente).
Passo 2
Lembrete rápido e didático sobre conceitos que vamos usar:
-
Definição de base: um conjunto de vetores
é base de um subespaço se (i) os vetores de geram (todo é combinação linear dos vetores de ) e (ii) os vetores de são linearmente independentes (a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial com todos os coeficientes zero). -
Como testar geração (span): mostrar que um vetor genérico do subespaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores propostos.
-
Como testar independência linear: suponha uma combinação linear dos vetores dando o vetor nulo e mostre que todos os coeficientes devem ser zero, analisando componente a componente.
Vou aplicar essas definições passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Parametrização do vetor geral usando a restrição
.
Um vetor genérico do subespaço tem a forma
Substituindo
, obtemos
Agora escrevemos
como combinação linear de vetores com parâmetros livres. Note que há dois parâmetros livres:
e
. Então
Isso mostra que qualquer vetor do subespaço é combinação linear dos vetores
e
; portanto esses dois vetores geram o subespaço.
Passo 4
Verificação da independência linear dos vetores obtidos.
Considere uma combinação linear que dá o vetor nulo:
Escrevendo componente a componente temos o sistema
Da primeira e segunda componentes obtemos
. Da terceira componente obtemos
. Logo
é a única solução, o que prova que
e
são linearmente independentes.
Passo 5
Conclusão combinando os resultados:
- Pelo Passo 3,
e geram o subespaço. - Pelo Passo 4, esses vetores são linearmente independentes.
Portanto eles formam uma base do subespaço. Além disso, como há dois vetores na base, a dimensão do subespaço é
.
Exemplo concreto (para fixar): para
e
temos
o que ilustra a parametrização e a geração.