1. Encontre uma base para os seguintes subespaços do \mathbb{R}^{3} :
(a) Todos os vetores da forma (a, b, c), onde b=a

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma base para o subespaço de \mathbb{R}^{3} formado por todos os vetores da forma (a,b,c) sujeitos à condição b=a.
Informações dadas:
  • Vetores gerais do subespaço têm coordenadas (a,b,c) com a,b,c\in\mathbb{R}.
  • Há a restrição imposta: b=a.
  • O que se quer: uma base para esse subespaço (ou seja, um conjunto de vetores que gere o subespaço e seja linearmente independente).

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre conceitos que vamos usar:
  • Definição de base: um conjunto de vetores B=\{v_{1},\dots,v_{k}\} é base de um subespaço V se (i) os vetores de B geram V (todo v\in V é combinação linear dos vetores de B) e (ii) os vetores de B são linearmente independentes (a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial com todos os coeficientes zero).
  • Como testar geração (span): mostrar que um vetor genérico do subespaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores propostos.
  • Como testar independência linear: suponha uma combinação linear dos vetores dando o vetor nulo e mostre que todos os coeficientes devem ser zero, analisando componente a componente.
Vou aplicar essas definições passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Parametrização do vetor geral usando a restrição b=a.
Um vetor genérico do subespaço tem a forma
(a,b,c)\quad\text{com}\quad b=a.
Substituindo b=a, obtemos
(a,a,c).
Agora escrevemos (a,a,c) como combinação linear de vetores com parâmetros livres. Note que há dois parâmetros livres: a e c. Então
(a,a,c)=a\,(1,1,0)+c\,(0,0,1).
Isso mostra que qualquer vetor do subespaço é combinação linear dos vetores (1,1,0) e (0,0,1); portanto esses dois vetores geram o subespaço.

Passo 4

Verificação da independência linear dos vetores obtidos.
Considere uma combinação linear que dá o vetor nulo:
\alpha\,(1,1,0)+\beta\,(0,0,1)=(0,0,0).
Escrevendo componente a componente temos o sistema
(\alpha,\,\alpha,\,\beta)=(0,0,0).
Da primeira e segunda componentes obtemos \alpha=0. Da terceira componente obtemos \beta=0. Logo \alpha=\beta=0 é a única solução, o que prova que (1,1,0) e (0,0,1) são linearmente independentes.

Passo 5

Conclusão combinando os resultados:
  • Pelo Passo 3, (1,1,0) e (0,0,1) geram o subespaço.
  • Pelo Passo 4, esses vetores são linearmente independentes.
Portanto eles formam uma base do subespaço. Além disso, como há dois vetores na base, a dimensão do subespaço é 2.
Exemplo concreto (para fixar): para a=2 e c=3 temos
(2,2,3)=2\,(1,1,0)+3\,(0,0,1),
o que ilustra a parametrização e a geração.

Resposta

(1,1,0)
(0,0,1)

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