Ache uma base de Mm times n(C) como espaço vetorial sobre C. Quantos elementos tem? E se considerarmos Mm times n(C) como espaço vetorial sobre R ?

Passo 1

O enunciado pede uma base de Mmtimes n(C) primeiro como espaço vetorial sobre C e depois como espaço vetorial sobre R. Vamos usar os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial sobre diferentes corpos.

Passo 2

Para ver Mmtimes n(C) como espaço sobre C, note que qualquer matriz AinMmtimes n(C) pode ser escrita unicamente como combinação linear complexa de matrizes canônicas
Eij, 1<= i<= m,;1<= j<= n,
onde Eij tem um ``1'' na entrada (i,j) e zeros nas demais. Logo
,Eijmid 1<= i<= m,;1<= j<= n
é uma base sobre C.

Passo 3

O número de elementos dessa base é simplesmente o número de pares (i,j), ou seja
mcdot n
Portanto
dimCMmtimes n(C)=mn.

Passo 4

Para ver Mmtimes n(C) como espaço sobre R, cada coeficiente complexo em cada entrada da matriz corresponde a duas coordenadas reais. Assim uma base real pode ser obtida dividindo cada Eij em parte real e imaginária:
,Eij,;i,Eijmid 1<= i<= m,;1<= j<= n
Aqui i é a unidade imaginária e cada combinação linear real gera qualquer matriz complexa.

Passo 5

O número de vetores dessa base é
2,(mcdot n)
Logo
dimRMmtimes n(C)=2,mn.

Resposta

Base sobre C: Eij, com mn elementos.
Base sobre R: Eij,,iEij, com 2mn elementos.

Exercícios relacionados