Ache uma base de
como espaço vetorial sobre
. Quantos elementos tem? E se considerarmos
como espaço vetorial sobre
?
Passo 1
O enunciado pede uma base de
primeiro como espaço vetorial sobre
e depois como espaço vetorial sobre
. Vamos usar os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial sobre diferentes corpos.
Passo 2
Para ver
como espaço sobre
, note que qualquer matriz
pode ser escrita unicamente como combinação linear complexa de matrizes canônicas
onde
tem um
na entrada
e zeros nas demais. Logo
é uma base sobre
.
Passo 3
O número de elementos dessa base é simplesmente o número de pares
, ou seja
Portanto
.
Passo 4
Para ver
como espaço sobre
, cada coeficiente complexo em cada entrada da matriz corresponde a duas coordenadas reais. Assim uma base real pode ser obtida dividindo cada
em parte real e imaginária:
Aqui
é a unidade imaginária e cada combinação linear real gera qualquer matriz complexa.
Passo 5
O número de vetores dessa base é
Logo
.
Resposta
Base sobre
:
, com
elementos.
Base sobre :
, com
elementos.
Base sobre