Qual é o menor número de elementos que deve conter um conjunto gerador de visto como espaço vetorial sobre Q ? Tente exibir um tal conjunto.

Passo 1

O enunciado quer o menor número de elementos de um conjunto G tal que
spanQ(G)=R
ou seja, a dimensão de R vista como espaço vetorial sobre Q. Vamos usar conceitos de dimensão (Hamel), cardinalidade de conjuntos e o Lema de Zorn para garantir a existência de uma base.

Passo 2

Mostramos que qualquer conjunto gerador G deve ter cardinalidade ao menos lvertRrvert. Se G fosse contável, então
spanQ(G)
seria também contável, pois é união enumerável de combinações finitas de elementos de G com coeficientes em Q. Mas R é incontável, logo não pode ser gerado por um G contável. Daí
lvert Grvert ;>=;lvertRrvert,

Passo 3

Aplicando o Lema de Zorn ao conjunto de subconjuntos de R que são Q-linearmente independentes (ordenado por inclusão), obtemos uma base de Hamel BsubsetR, isto é, um conjunto maximal linearmente independente cujo span é todo R. Por definição de dimensão e pelo passo anterior,
dimQR =lvert Brvert >=lvertRrvert
Por outro lado, sempre vale dimQR<=lvertRrvert. Concluímos
dimQR =lvertRrvert =2^a<=ph0

Resposta

O menor número de elementos é lvertRrvert=2^a<=ph0. Um exemplo de tal conjunto é qualquer base de Hamel de R sobre Q, obtida abstratamente pelo Lema de Zorn.

Exercícios relacionados