Qual é o menor número de elementos que deve conter um conjunto gerador de visto como espaço vetorial sobre
? Tente exibir um tal conjunto.
Passo 1
O enunciado quer o menor número de elementos de um conjunto
tal que
ou seja, a dimensão de
vista como espaço vetorial sobre
. Vamos usar conceitos de dimensão (Hamel), cardinalidade de conjuntos e o Lema de Zorn para garantir a existência de uma base.
Passo 2
Mostramos que qualquer conjunto gerador
deve ter cardinalidade ao menos
. Se
fosse contável, então
seria também contável, pois é união enumerável de combinações finitas de elementos de
com coeficientes em
. Mas
é incontável, logo não pode ser gerado por um
contável. Daí
Passo 3
Aplicando o Lema de Zorn ao conjunto de subconjuntos de
que são
-linearmente independentes (ordenado por inclusão), obtemos uma base de Hamel
, isto é, um conjunto maximal linearmente independente cujo span é todo
. Por definição de dimensão e pelo passo anterior,
Por outro lado, sempre vale
. Concluímos
Resposta
O menor número de elementos é
. Um exemplo de tal conjunto é qualquer base de Hamel de
sobre
, obtida abstratamente pelo Lema de Zorn.