(a) Mostre que os conjuntos (1,0),(0,1),(i, 0),(2,-3) e (i, i),(-1,2 i) são bases de C^2 sobre C.
(b) Mostre que (1,0),(i, 0),(0,1),(0, i) é uma base de C^2 sobre R.
(c) Mostre que toda base de C^2 sobre C tem 2 elementos e que toda base de C^2 sobre R tem 4 elementos.

Passo 1

O enunciado trata de verificar quais coleções de vetores em C^2 são bases, tanto como espaço vetorial sobre C (itens a e c) quanto sobre R (item b). Para isso, vamos usar a definição: um conjunto é base se e somente se é linearmente independente e gera todo o espaço. Também precisaremos do fato de que dimC!(C^2)=2 e dimR!(C^2)=4.

Passo 2

Parte (a), primeiro conjunto (1,0),(0,1) sobre C.
Independência: seja
alpha(1,0)+beta(0,1)=(0,0), alpha,betainC
Isso dá alpha=0 e beta=0, logo é independente.
Geração: dado (z1,z2)inC^2, basta escrever
(z1,z2)=z1,(1,0)+z2,(0,1)
Assim é base.

Passo 3

Ainda (a), segundo conjunto (i,0),(2,-3).
Independência: suponha
alpha(i,0)+beta(2,-3)=(0,0), alpha,betainC
Da segunda componente vem -3beta=0impliesbeta=0. Da primeira alpha,i+2cdot0=0impliesalpha=0. Só a solução trivial, logo independente.
Geração: dado (z1,z2), da segunda componente temos beta=-tfracz23 e da primeira
alpha,i+2beta=z1implies alpha=z1-2betaiinC
Assim qualquer (z1,z2) é combinação linear, logo gera C^2.

Passo 4

Ainda (a), terceiro conjunto
Das componentes obtém-se e
, daí . Logo independente.
Geração: para resolvemos
daí
. Logo gera .

Passo 5

Conclusão do item (a): cada um dos três conjuntos tem 2 vetores, é independente sobre C e gera C^2, portanto é base de C^2 sobre C.

Passo 6

Parte (b), conjunto (1,0),(i,0),(0,1),(0,i) sobre R.
Independência: sejam a,b,c,dinR tais que
a(1,0)+b(i,0)+c(0,1)+d(0,i)=(0,0)
Isso dá
(a+bi,;c+di)=(0,0), logo a=b=0 e c=d=0. É independente.
Geração: dado (z1,z2)inC^2, escreva z1=x1+iy1, z2=x2+iy2 com xj,yjinR. Então
(z1,z2)=x1(1,0)+y1(i,0)+x2(0,1)+y2(0,i)
Logo gera todo C^2 como espaço real.

Passo 7

Parte (c): por definição de dimensão de espaço vetorial, C^2 visto como espaço sobre C tem dimensão 2, de modo que toda base complexa deve ter exatamente 2 vetores. Visto sobre R, a dimensão dobra: dimR!(C^2)=4, então toda base real tem exatamente 4 vetores.

Resposta

(a) Cada um dos três conjuntos é independente de cardinalidade 2 e gera C^2, logo é base sobre C.
(b) O conjunto de quatro vetores é independente sobre R e gera C^2, logo é base sobre R.
(c) Qualquer base de C^2 sobre C tem 2 elementos e qualquer base sobre R tem 4 elementos.

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