(a) Mostre que os conjuntos
e
são bases de
sobre
.
(b) Mostre que
é uma base de
sobre
.
(c) Mostre que toda base de
sobre
tem 2 elementos e que toda base de
sobre
tem 4 elementos.
(b) Mostre que
(c) Mostre que toda base de
Passo 1
O enunciado trata de verificar quais coleções de vetores em
são bases, tanto como espaço vetorial sobre
(itens a e c) quanto sobre
(item b). Para isso, vamos usar a definição: um conjunto é base se e somente se é linearmente independente e gera todo o espaço. Também precisaremos do fato de que
e
.
Passo 2
Parte (a), primeiro conjunto
sobre
.
Independência: seja
Independência: seja
Isso dá
e
, logo é independente.
Geração: dado , basta escrever
Geração: dado
Assim é base.
Passo 3
Ainda (a), segundo conjunto
.
Independência: suponha
Independência: suponha
Da segunda componente vem
. Da primeira
. Só a solução trivial, logo independente.
Geração: dado , da segunda componente temos
e da primeira
Geração: dado
Assim qualquer
é combinação linear, logo gera
.
Passo 4
Ainda (a), terceiro conjunto
Das componentes obtém-se
e
, daí
. Logo independente.
Geração: para resolvemos
Geração: para
daí
. Logo gera .
. Logo gera
Passo 5
Conclusão do item (a): cada um dos três conjuntos tem 2 vetores, é independente sobre
e gera
, portanto é base de
sobre
.
Passo 6
Parte (b), conjunto
sobre
.
Independência: sejam tais que
Independência: sejam
Isso dá
, logo
e
. É independente.
Geração: dado , escreva
,
com
. Então
Geração: dado
Logo gera todo
como espaço real.
Passo 7
Parte (c): por definição de dimensão de espaço vetorial,
visto como espaço sobre
tem dimensão 2, de modo que toda base complexa deve ter exatamente 2 vetores. Visto sobre
, a dimensão dobra:
, então toda base real tem exatamente 4 vetores.
Resposta
(a) Cada um dos três conjuntos é independente de cardinalidade 2 e gera
, logo é base sobre
.
(b) O conjunto de quatro vetores é independente sobre e gera
, logo é base sobre
.
(c) Qualquer base de sobre
tem 2 elementos e qualquer base sobre
tem 4 elementos.
(b) O conjunto de quatro vetores é independente sobre
(c) Qualquer base de