Ache uma base de Im T e uma base de N u c T. Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear cuja matriz com relação à base canônica seja
(rrr 1 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & -1 & -1 )
(a) Determine T(x, y, z).
(b) Qual é a matriz do operador T com relação à base B=(-1,1,0),(1,-1,1),(0,1,-1) ?
(c) O operador T é invertível? Justifique.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
T:R^3toR^3
cuja matriz na base canônica é
A = 1 & 1 & 0 -1&0&1 0&-1&-1
Precisamos então:
– (a) escrever T(x,y,z) explicitamente;
– (b) encontrar a matriz de T na base B=(-1,1,0),(1,-1,1),(0,1,-1);
– (c) decidir se T é invertível e justificar;
além de determinar bases de ImT e de ker T.

Passo 2

Para todo temos

Passo 3

Para achar e resolvemos
As equações dão
,
logo e . Com parâmetro surge
.
As colunas de são
, e notamos
. Assim
.

Passo 4

Para encontrar a matriz de T em B, calculamos T nos vetores de B e expressamos em B:
1. b1=(-1,1,0)implies T(b1)=(0,1,-1)=b3.
2. b2=(1,-1,1)implies T(b2)=(0,0,0).
3. b3=(0,1,-1)implies T(b3)=(1,-1,0)=-,b1.
Logo a matriz de T em B é
[T]B = 0 & 0 & -1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 ,
pois as colunas são as coordenadas de T(b1),T(b2),T(b3) em B.

Passo 5

O determinante de A vale
det A =1cdotdet0&1-1&-1 -1cdotdet-1&10&-1 +0 =1cdot(0+1)-1cdot(1-0)=1-1=0
Como det A=0, T não é invertível (equivale a dimker T>0).

Resposta

Uma base de Im T é
(1,-1,0),,(1,0,-1)
Uma base de ker T é
(1,-1,1)
(a) T(x,y,z)=(x+y,,-x+z,,-y-z)
(b) [T]B = 0 & 0 & -1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0
(c) T não é invertível, pois det A=0 (ou equivalentemente ker Tneq0).

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