Nos seguintes exercícios, encontre uma relação entre x e y e esboce o gráfico das curvas parametrizadas usando esta relação:
lx=sen t y=cos t, t in[0,3 / 2 pi]

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
x=sin t, y=cos t, tin[0,tfrac32pi]
e pede (a) encontrar uma relação entre x e y eliminando o parâmetro e (b) esboçar o gráfico da curva.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
sin^2 t + cos^2 t = 1
Como x=sin t e y=cos t, segue-se imediatamente
x^2 + y^2 = 1

Passo 3

Agora identificamos os pontos inicial e final do arco:
  • Em t=0: (x,y)=(sin0,cos0)=(0,1).
  • Em t=tfrac32pi: l(sintfrac32pi,costfrac32pir)=(-1,0).

Passo 4

Observando como t varia de 0 a tfrac32pi, o ponto percorre o círculo de raio 1 em torno da origem no sentido horário, cobrindo um ângulo de tfrac32pi rad (ou seja, 3/4 de volta), passando por (1,0) em t=tfracpi2 e por (0,-1) em t=pi.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe o círculo de raio 1 centrado na origem.
  2. Marque os pontos (0,1), (1,0), (0,-1) e (-1,0).
  3. Trace um arco de (0,1) até (-1,0) no sentido horário, passando pelos pontos intermediários citados. Inclua uma seta indicativa do sentido.

Resposta

A curva satisfaz
x^2 + y^2 = 1
e o gráfico é o arco do círculo de raio 1 centrado na origem, que parte de (0,1) em t=0 e vai até (-1,0) em t=tfrac32pi, percorrendo 3/4 de volta no sentido horário.

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