Sejam duas transformações lineares, onde e são -espaços vetoriais de dimensão finita. Sejam e bases de e de , respectivamente e . Mostre que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao multiplicar por um escalar lambda uma transformação linear Tcolon Vto W, a matriz de T em relação às bases B de V e C de W também se multiplica por lambda. Vamos usar a definição de matriz de uma transformação linear: cada coluna é o vetor de coordenadas da imagem de um vetor de base.

Passo 2

Seja B = v1,v2,dots,vn base de V e C = w1,w2,dots,wm base de W. Então dim V = n e dim W = m. Vamos escrever
[T]B,C = A = (aij)inK^mtimes n,
onde a coluna j de A é o vetor de coordenadas de T(vj) em C.

Passo 3

Por definição de matriz de , para cada temos
Logo a coluna de é

Passo 4

Agora considere . Para cada vetor de base ,
Isso mostra que a coluna da matriz é

Passo 5

Como isso vale para toda coluna j, concluímos que
[lambda T]B,C =lambda,(aij) =lambda,[T]B,C

Resposta

[lambda T]B,C = lambda,[T]B,C

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