Sejam
duas transformações lineares, onde
e
são
-espaços vetoriais de dimensão finita. Sejam
e
bases de
e de
, respectivamente e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao multiplicar por um escalar
uma transformação linear
, a matriz de
em relação às bases
de
e
de
também se multiplica por
. Vamos usar a definição de matriz de uma transformação linear: cada coluna é o vetor de coordenadas da imagem de um vetor de base.
Passo 2
Seja
base de
e
base de
. Então
e
. Vamos escrever
onde a coluna
de
é o vetor de coordenadas de
em
.
Passo 3
Por definição de matriz de
, para cada
temos
Logo a coluna
de
é
Passo 4
Agora considere
. Para cada vetor de base
,
Isso mostra que a coluna
da matriz
é
Passo 5
Como isso vale para toda coluna
, concluímos que