Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é a diferença de duas frações que têm o mesmo denominador (x-1).
  • O ponto onde fazemos o limite é x=1, onde o denominador é zero, o que indica que a expressão original não está definida em x=1.
    O objetivo é encontrar o valor numérico que a expressão se aproxima quando x tende a 1.

Passo 2

Verificação direta: se tentarmos substituir x=1 diretamente na expressão original, cada parcela tem denominador zero, portanto a substituição direta não funciona. Em particular, cada termo sozinho diverge (tende a infinito com sinal dependendo do lado), então precisamos manipular algebricamente a expressão antes de tentar o limite.
Lembrete rápido (fórmula que vou usar): se duas frações têm o mesmo denominador, a diferença é a diferença dos numeradores sobre o mesmo denominador, isto é
\frac{A}{B}-\frac{C}{B}=\frac{A-C}{B},
válido sempre que B\neq 0. Aqui A=x^{2}, C=1 e B=x-1 (para x\neq 1).

Passo 3

Aplicando a redução de frações com mesmo denominador:
\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1},\qquad (x\neq 1).

Passo 4

Agora fatoramos o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituindo na expressão obtemos, para x\neq 1,
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}.

Passo 5

Como x\neq 1 na expressão manipulada, podemos cancelar o fator comum (x-1) no numerador e denominador, ficando
\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\qquad (x\neq 1).
Isso mostra que a função original coincide com a função x+1 para todo x diferente de 1. A singularidade em x=1 é, portanto, uma descontinuidade removível.

Passo 6

Agora que simplificamos, o limite passa a ser o limite de uma função contínua em x=1. Assim
\lim_{x\to 1}\left(\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}\right)=\lim_{x\to 1}(x+1).
Como x+1 é contínua, basta substituir x=1:
\lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2.

Resposta

2

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