Ache cada limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é a diferença de duas frações que têm o mesmo denominador
. - O ponto onde fazemos o limite é
, onde o denominador é zero, o que indica que a expressão original não está definida em .
O objetivo é encontrar o valor numérico que a expressão se aproxima quandotende a .
Passo 2
Verificação direta: se tentarmos substituir
diretamente na expressão original, cada parcela tem denominador zero, portanto a substituição direta não funciona. Em particular, cada termo sozinho diverge (tende a infinito com sinal dependendo do lado), então precisamos manipular algebricamente a expressão antes de tentar o limite.
Lembrete rápido (fórmula que vou usar): se duas frações têm o mesmo denominador, a diferença é a diferença dos numeradores sobre o mesmo denominador, isto é
válido sempre que
. Aqui
,
e
(para
).
Passo 3
Aplicando a redução de frações com mesmo denominador:
Passo 4
Agora fatoramos o numerador usando a identidade de diferença de quadrados:
Substituindo na expressão obtemos, para
,
Passo 5
Como
na expressão manipulada, podemos cancelar o fator comum
no numerador e denominador, ficando
Isso mostra que a função original coincide com a função
para todo
diferente de
. A singularidade em
é, portanto, uma descontinuidade removível.
Passo 6
Agora que simplificamos, o limite passa a ser o limite de uma função contínua em
. Assim
Como
é contínua, basta substituir
: