Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 3 / 2} \frac{2 x^{2}+x-6}{4 x^{2}-4 x-3}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 3/2}\frac{2x^{2}+x-6}{4x^{2}-4x-3}.
Informações dadas (explicitamente): o numerador é o polinômio 2x^{2}+x-6 e o denominador é o polinómio 4x^{2}-4x-3. O ponto de interesse é x\to 3/2. A tarefa é decidir se o limite existe e, se existir, encontrar seu valor.

Passo 2

Tentar a substituição direta (regra básica: se a função for contínua no ponto, o limite é o valor por substituição). Calcular numerador e denominador em x=3/2:
2\!\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{3}{2}-6 \qquad\text{e}\qquad 4\!\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\!\left(\frac{3}{2}\right)-3.
Agora avalio cada um:
2\!\left(\frac{9}{4}\right)+\frac{3}{2}-6=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}-6=\frac{12}{2}-6=6-6=0,
4\!\left(\frac{9}{4}\right)-6-3=9-6-3=0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição; é preciso manipular a expressão (normalmente fatorando e simplificando).

Passo 3

Explicação rápida sobre a técnica: quando uma razão de polinômios dá 0/0 ao substituir, isso costuma significar que há um fator comum (x-a) tanto no numerador quanto no denominador (um “ponto removível”). A técnica é fatorar ambos, cancelar o fator comum e então avaliar o limite na expressão simplificada.
Vou fatorar o numerador 2x^{2}+x-6. Procuro fatores no formato (2x+\alpha)(x+\beta) tais que \alpha\beta=-6 e 2\beta+\alpha=1. Tentando inteiros, achamos:
(2x-3)(x+2)=2x^{2}+4x-3x-6=2x^{2}+x-6.
Portanto
2x^{2}+x-6=(2x-3)(x+2).

Passo 4

Agora fatoro o denominador 4x^{2}-4x-3. Procuro fatores no formato (2x+\gamma)(2x+\delta) com \gamma\delta=-3 e \gamma+\delta=-2. Tentando inteiros, encontramos:
(2x-3)(2x+1)=4x^{2}+2x-6x-3=4x^{2}-4x-3.
Logo
4x^{2}-4x-3=(2x-3)(2x+1).

Passo 5

Substituindo as fatorações na razão original obtemos
\frac{2x^{2}+x-6}{4x^{2}-4x-3} = \frac{(2x-3)(x+2)}{(2x-3)(2x+1)}.
Para x\neq 3/2 podemos cancelar o fator comum (2x-3), ficando com a função equivalente para todos os x próximos de 3/2 (exceto no próprio x=3/2):
\frac{x+2}{2x+1}.
Justificativa do passo: como as duas expressões coincidem em uma vizinhança do ponto (exceto possivelmente no ponto), o limite de ambas quando x\to3/2 é o mesmo; e a função simplificada é contínua em x=3/2 (denominador não nulo aí), então podemos avaliar por substituição.

Passo 6

Avalio a expressão simplificada em x=3/2:
x+2=\frac{3}{2}+2=\frac{3}{2}+\frac{4}{2}=\frac{7}{2}, \qquad 2x+1=2\cdot\frac{3}{2}+1=3+1=4.
Portanto
\frac{x+2}{2x+1}\Bigg|_{x=3/2}=\frac{\tfrac{7}{2}}{4}=\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{7}{8}.

Resposta

\dfrac{7}{8}

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