Ache cada limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas (explicitamente): o numerador é o polinômio
e o denominador é o polinómio
. O ponto de interesse é
. A tarefa é decidir se o limite existe e, se existir, encontrar seu valor.
Passo 2
Tentar a substituição direta (regra básica: se a função for contínua no ponto, o limite é o valor por substituição). Calcular numerador e denominador em
:
Agora avalio cada um:
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso indica que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição; é preciso manipular a expressão (normalmente fatorando e simplificando).
Passo 3
Explicação rápida sobre a técnica: quando uma razão de polinômios dá
ao substituir, isso costuma significar que há um fator comum
tanto no numerador quanto no denominador (um “ponto removível”). A técnica é fatorar ambos, cancelar o fator comum e então avaliar o limite na expressão simplificada.
Vou fatorar o numerador
. Procuro fatores no formato
tais que
e
. Tentando inteiros, achamos:
Portanto
Passo 4
Agora fatoro o denominador
. Procuro fatores no formato
com
e
. Tentando inteiros, encontramos:
Logo
Passo 5
Substituindo as fatorações na razão original obtemos
Para
podemos cancelar o fator comum
, ficando com a função equivalente para todos os
próximos de
(exceto no próprio
):
Justificativa do passo: como as duas expressões coincidem em uma vizinhança do ponto (exceto possivelmente no ponto), o limite de ambas quando
é o mesmo; e a função simplificada é contínua em
(denominador não nulo aí), então podemos avaliar por substituição.
Passo 6
Avalio a expressão simplificada em
:
Portanto