Denotemos por [[ ]] a função maior inteiro, e seja n um inteiro arbitrário. Determine
(a) \lim _{x \rightarrow n^{-}} f(x)
(b) \lim _{x \rightarrow \pi^{+}} f(x)
f(x)=[[x]]-x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x) = [[x]] - x^{2}, onde [[x]] é a função maior inteiro (floor), e nos pede duas coisas:
  • (a) calcular \displaystyle \lim_{x \to n^{-}} f(x), onde n é um inteiro arbitrário;
  • (b) calcular \displaystyle \lim_{x \to \pi^{+}} f(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f é dada por f(x)= [[x]] - x^{2}.
  • O símbolo [[x]] representa o maior inteiro menor ou igual a x.
  • Em (a) a aproximação é pelo lado esquerdo de um inteiro n (isso é, x aproxima-se de n com x<n).
  • Em (b) a aproximação é pelo lado direito do número \pi (isto é, x>\pi e x aproxima-se de \pi).

Passo 2

Vamos revisar bem o comportamento da função maior inteiro [[x]], porque isso é o coração do problema.
Definição: [[x]] é o maior inteiro que não excede x. Exemplos para fixar a ideia:
[[2{,}9]] = 2,\qquad [[3]] = 3,\qquad [[-0{,}1]] = -1.
Observações importantes que usaremos:
  • Se n é um inteiro e x aproxima-se de n pela esquerda (ou seja, x\in(n-1,n) e x\to n^{-}), então [[x]] = n-1 para todos esses x suficientemente próximos de n.
  • Se a é um número que não é inteiro (por exemplo \pi), então para x próximo de a pela direita ou pela esquerda, [[x]] é o mesmo inteiro [[a]] até que se cruze um inteiro. No caso de \pi, [[\pi]] = 3 porque 3 \le \pi < 4.

Passo 3

Calcular \displaystyle \lim_{x \to n^{-}} f(x).
Primeiro observe o comportamento de cada parcela quando x\to n^{-}:
  • Pelo item anterior, para x suficientemente próximo de n vindo da esquerda temos [[x]] = n-1. Portanto
\lim_{x\to n^{-}} [[x]] = n-1.
  • A função x^{2} é contínua, então
\lim_{x\to n^{-}} x^{2} = n^{2}.
Como f(x) é a diferença dessas duas quantidades, o limite é a diferença dos limites:
\lim_{x\to n^{-}} f(x) = \lim_{x\to n^{-}} [[x]] - \lim_{x\to n^{-}} x^{2} = (n-1) - n^{2}.
Simplificando,
\lim_{x\to n^{-}} f(x) = -n^{2} + n - 1.

Passo 4

Comentário didático rápido (útil para prova): a razão pela qual não podemos simplesmente substituir x=n no termo [[x]] quando calculamos \lim_{x\to n^-} é que [[x]] tem descontinuidade em inteiros — à esquerda vale n-1 e à direita vale n. Já o termo x^{2} é contínuo, então seu comportamento é simples. Na prática, para limites laterais de funções que envolvem [[x]] sempre identifique qual inteiro a função assume na vizinhança do ponto conforme o lado de aproximação.

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{x \to \pi^{+}} f(x).
Novamente, analisamos cada parcela quando x\to \pi^{+}:
  • Como \pi não é inteiro e 3 \le \pi < 4, temos [[\pi]] = 3. Para x ligeiramente maior que \pi (ou seja, x vindo pela direita), ainda vale [[x]] = 3 enquanto x<4. Assim
\lim_{x\to \pi^{+}} [[x]] = 3.
  • De novo, x^{2} é contínua, então
\lim_{x\to \pi^{+}} x^{2} = \pi^{2}.
Portanto
\lim_{x\to \pi^{+}} f(x) = \lim_{x\to \pi^{+}} [[x]] - \lim_{x\to \pi^{+}} x^{2} = 3 - \pi^{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to n^{-}} f(x) = -n^{2} + n - 1
(b) \displaystyle \lim_{x\to \pi^{+}} f(x) = 3 - \pi^{2}

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