Denotemos por [[ ]] a função maior inteiro, e seja
um inteiro arbitrário. Determine
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
, onde
é a função maior inteiro (floor), e nos pede duas coisas:
- (a) calcular
, onde é um inteiro arbitrário; - (b) calcular
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é dada por . - O símbolo
representa o maior inteiro menor ou igual a . - Em (a) a aproximação é pelo lado esquerdo de um inteiro
(isso é, aproxima-se de com ). - Em (b) a aproximação é pelo lado direito do número
(isto é, e aproxima-se de ).
Passo 2
Vamos revisar bem o comportamento da função maior inteiro
, porque isso é o coração do problema.
Definição:
é o maior inteiro que não excede
. Exemplos para fixar a ideia:
Observações importantes que usaremos:
- Se
é um inteiro e aproxima-se de pela esquerda (ou seja, e ), então para todos esses suficientemente próximos de . - Se
é um número que não é inteiro (por exemplo ), então para próximo de pela direita ou pela esquerda, é o mesmo inteiro até que se cruze um inteiro. No caso de , porque .
Passo 3
Calcular
.
Primeiro observe o comportamento de cada parcela quando
:
- Pelo item anterior, para
suficientemente próximo de vindo da esquerda temos . Portanto
- A função
é contínua, então
Como
é a diferença dessas duas quantidades, o limite é a diferença dos limites:
Simplificando,
Passo 4
Comentário didático rápido (útil para prova): a razão pela qual não podemos simplesmente substituir
no termo
quando calculamos
é que
tem descontinuidade em inteiros — à esquerda vale
e à direita vale
. Já o termo
é contínuo, então seu comportamento é simples. Na prática, para limites laterais de funções que envolvem
sempre identifique qual inteiro a função assume na vizinhança do ponto conforme o lado de aproximação.
Passo 5
Calcular
.
Novamente, analisamos cada parcela quando
:
- Como
não é inteiro e , temos . Para ligeiramente maior que (ou seja, vindo pela direita), ainda vale enquanto . Assim
- De novo,
é contínua, então
Portanto
Resposta
(a)
(b)