Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{6-7 x}{(3+2 x)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -2}\frac{6-7x}{(3+2x)^{4}}.
Informações dadas: a função é a razão entre um polinômio no numerador 6-7x e uma potência (quarta) de outro polinômio no denominador (3+2x)^{4}. O ponto de interesse é x\to -2.

Passo 2

Estratégia e ideia chave (explicação didática). Polinômios e combinações simples deles (somar, multiplicar, elevar a potência) são funções contínuas em todo lugar. A razão de duas funções contínuas é contínua em pontos onde o denominador é diferente de zero. Assim, se ao substituir x=-2 no denominador obtemos um número diferente de zero, podemos simplesmente substituir x=-2 em toda a expressão para obter o valor do limite. Se o denominador fosse zero, precisaríamos de outra análise (fatoração, regra de L’Hôpital, etc.), mas aqui primeiro vamos checar o denominador.

Passo 3

Calcular o valor do denominador em x=-2.
3+2x\big|_{x=-2}=3+2(-2)=3-4=-1.
Agora a potência quarta:
(3+2x)^{4}\big|_{x=-2}=(-1)^{4}=1,
porque um número negativo elevado a uma potência par resulta em número positivo e especificamente (-1)^{4}=1.

Passo 4

Calcular o numerador em x=-2.
6-7x\big|_{x=-2}=6-7(-2)=6+14=20.

Passo 5

Concluir o limite. Como o denominador em x=-2 é 1\neq0, a função é contínua nesse ponto e o limite é igual ao valor da função em x=-2. Portanto
\lim_{x\to -2}\frac{6-7x}{(3+2x)^{4}}=\frac{20}{1}=20.

Resposta

20

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