Denotemos por [[ ]] a função maior inteiro, e seja
um inteiro arbitrário. Determine
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
onde
denota a função maior inteiro (a notação usada no enunciado). O enunciado pede duas coisas:
(a) calcular para um inteiro arbitrário
;
(b) calcular .
(a) calcular
(b) calcular
Informações importantes fornecidas:
- A notação
significa "maior inteiro menor ou igual a " (isto é, o piso de ). - A função envolvida é
. - Em (a) o ponto de aproximação é
, que é um número inteiro qualquer. - Em (b) a aproximação é para a direita do número
.
Passo 2
Primeiro, entenda claramente o que é a função maior inteiro (piso) e alguns exemplos — isso vai ser a base de tudo.
Definição e propriedades básicas:
- Para qualquer real
, (ou em notação padrão) é o maior inteiro que não excede . Em símbolos:
- Exemplos para fixar a ideia:
-
porque . -
porque . -
porque .
-
Esses exemplos mostram que o piso “corta para baixo” ao inteiro imediatamente menor ou igual.
Passo 3
Agora observe a expressão
e relacione-a com a função teto (ceiling). Vou provar a identidade útil que simplifica tudo:
onde
é o menor inteiro maior ou igual a
(teto de
).
Prova direta (passo a passo):
- Escreva
. Pela definição de piso, isso significa
onde
é um inteiro.
- Multiplicando a desigualdade por
(e invertendo os sinais das desigualdades) obtemos
- Reescrevendo, isso dá
- Isso mostra que
é um inteiro que satisfaz e é o menor inteiro com essa propriedade; ou seja, . - Portanto
.
Conclusão: para todo real
,
Sugestão intuitiva: trocar o sinal dentro do piso transforma piso em teto (com um sinal negativo por fora).
Passo 4
Com a identidade
em mãos, vamos calcular (a)
para
inteiro.
Raciocínio:
- Considere
aproximando pela esquerda, ou seja, e . - Para valores de
com (que são os valores possíveis quando nos aproximamos de pela esquerda, suficientemente perto), tem-se . Por exemplo, . - Logo, para todo
suficientemente próximo de pela esquerda, . - Portanto o limite lateral esquerdo é o próprio inteiro
:
Um exemplo numérico para sentir: se
, então para
temos
; assim o limite vindo da esquerda é
.
Passo 5
Agora calcule (b)
.
Raciocínio:
- Usando
, examine números imediatamente à direita de . Lembre que . - Para
com (ou seja, qualquer imediatamente maior que mas menor que ), tem-se . - Ao aproximar
pela direita, os pontos considerados ficam todos no intervalo , portanto para próximos de por valores maiores que . - Assim o limite à direita é
Observação adicional (só para intuição): também
, e se você olhar pela esquerda logo acima de
(isto é, para
em
), também tem
; então a função é contínua em
, mas isso não era pedido explicitamente.