Denotemos por [[ ]] a função maior inteiro, e seja n um inteiro arbitrário. Determine
(a) \lim _{x \rightarrow n^{-}} f(x)
(b) \lim _{x \rightarrow \pi^{+}} f(x)
f(x)=-[[-x]]

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x) = -[[ -x ]]
onde [[\,\cdot\,]] denota a função maior inteiro (a notação usada no enunciado). O enunciado pede duas coisas:
(a) calcular \displaystyle \lim_{x\to n^{-}} f(x) para um inteiro arbitrário n;
(b) calcular \displaystyle \lim_{x\to \pi^{+}} f(x).
Informações importantes fornecidas:
  • A notação [[y]] significa "maior inteiro menor ou igual a y" (isto é, o piso de y).
  • A função envolvida é f(x)=-[[ -x ]].
  • Em (a) o ponto de aproximação é n, que é um número inteiro qualquer.
  • Em (b) a aproximação é para a direita do número \pi.

Passo 2

Primeiro, entenda claramente o que é a função maior inteiro (piso) e alguns exemplos — isso vai ser a base de tudo.
Definição e propriedades básicas:
  • Para qualquer real y, [[y]] (ou \lfloor y\rfloor em notação padrão) é o maior inteiro que não excede y. Em símbolos:
[[y]]=\lfloor y\rfloor \quad\text{é o inteiro único }m\text{ tal que }m\le y<m+1.éú
  • Exemplos para fixar a ideia:
    • [[2,7]]=\lfloor 2,7\rfloor =2 porque 2\le 2{,}7<3.
    • [[3]]= \lfloor 3\rfloor =3 porque 3\le 3<4.
    • [[-1,2]]=\lfloor -1{,}2\rfloor =-2 porque -2\le -1{,}2<-1.
Esses exemplos mostram que o piso “corta para baixo” ao inteiro imediatamente menor ou igual.

Passo 3

Agora observe a expressão f(x)=-[[ -x ]] e relacione-a com a função teto (ceiling). Vou provar a identidade útil que simplifica tudo:
-\lfloor -x\rfloor = \lceil x\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro maior ou igual a x (teto de x).
Prova direta (passo a passo):
  • Escreva \lfloor -x\rfloor = m. Pela definição de piso, isso significa
m\le -x < m+1,
onde m é um inteiro.
  • Multiplicando a desigualdade por -1 (e invertendo os sinais das desigualdades) obtemos
-m \ge x > -(m+1) = -m-1.
  • Reescrevendo, isso dá
- m -1 < x \le -m.
  • Isso mostra que -m é um inteiro que satisfaz x\le -m e é o menor inteiro com essa propriedade; ou seja, -m=\lceil x\rceil.
  • Portanto -\lfloor -x\rfloor = \lceil x\rceil.
Conclusão: para todo real x,
f(x) = -[[ -x ]] = \lceil x\rceil.
Sugestão intuitiva: trocar o sinal dentro do piso transforma piso em teto (com um sinal negativo por fora).

Passo 4

Com a identidade f(x)=\lceil x\rceil em mãos, vamos calcular (a) \displaystyle \lim_{x\to n^{-}} f(x) para n inteiro.
Raciocínio:
  • Considere x aproximando n pela esquerda, ou seja, x<n e x\to n.
  • Para valores de x com n-1<x<n (que são os valores possíveis quando nos aproximamos de n pela esquerda, suficientemente perto), tem-se \lceil x\rceil = n. Por exemplo, \lceil n-0{,}1\rceil = n.
  • Logo, para todo x suficientemente próximo de n pela esquerda, f(x)=\lceil x\rceil = n.
  • Portanto o limite lateral esquerdo é o próprio inteiro n:
\lim_{x\to n^{-}} f(x) = n.
Um exemplo numérico para sentir: se n=2, então para x=1{,}99 temos \lceil 1{,}99\rceil=2; assim o limite vindo da esquerda é 2.

Passo 5

Agora calcule (b) \displaystyle \lim_{x\to \pi^{+}} f(x).
Raciocínio:
  • Usando f(x)=\lceil x\rceil, examine números imediatamente à direita de \pi. Lembre que \pi\approx 3{,}14159.
  • Para x com \pi < x < 4 (ou seja, qualquer x imediatamente maior que \pi mas menor que 4), tem-se \lceil x\rceil = 4.
  • Ao aproximar \pi pela direita, os pontos considerados ficam todos no intervalo (\pi,4), portanto f(x)=4 para x próximos de \pi por valores maiores que \pi.
  • Assim o limite à direita é
\lim_{x\to \pi^{+}} f(x) = 4.
Observação adicional (só para intuição): também \lceil \pi\rceil =4, e se você olhar pela esquerda logo acima de 3 (isto é, para x em (3,\pi)), também tem \lceil x\rceil=4; então a função é contínua em \pi, mas isso não era pedido explicitamente.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to n^{-}} f(x)=n
\displaystyle \lim_{x\to \pi^{+}} f(x)=4

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