Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x+3}{(1 / x)+(1 / 3)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -3}\frac{x+3}{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{3}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{x+3}{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{3}}.
  • Avaliando por substituição direta em x=-3:
    • Numerador: x+3 em x=-3 -3+3=0.
    • Denominador: \tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{3} em x=-3 \tfrac{1}{-3}+\tfrac{1}{3}=-\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=0.
  • Portanto a forma obtida por substituição é a indeterminada \dfrac{0}{0}.
  • A função original não está definida em x=0 (porque há \tfrac{1}{x}) e em x=-3 (denominador zero). Mesmo assim o limite em x\to -3 pode existir caso haja uma simplificação que remova a indeterminação.

Passo 2

Vamos simplificar o denominador combinando as frações \tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{3}. Para somar frações, usamos o mesmo denominador comum 3x:
\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3x}+\frac{x}{3x}=\frac{3+x}{3x}=\frac{x+3}{3x}.
Explicação didática: ao somar \tfrac{1}{x} e \tfrac{1}{3} procura-se um múltiplo comum dos denominadores (que é 3x), reescreve-se cada fração com esse denominador e soma-se os numeradores.

Passo 3

Substituindo essa expressão do denominador na fração original obtemos
\frac{x+3}{\tfrac{x+3}{3x}}.
Uma fração dividida por outra é multiplicada pelo inverso, logo
\frac{x+3}{\tfrac{x+3}{3x}}=(x+3)\cdot\frac{3x}{x+3}.
Agora vemos o fator comum (x+3) no numerador e no denominador do produto; podemos cancelar esse fator desde que x\neq -3. Após o cancelamento (válido para x\neq -3) fica
(x+3)\cdot\frac{3x}{x+3}=3x.
Observação importante: a simplificação produz a função 3x que coincide com a função original para todo x próximo de -3 (exceto exatamente em x=-3), e também é necessário lembrar que x\neq 0 é condição original por causa de \tfrac{1}{x}. Para o cálculo do limite em x\to -3 isso não impede a análise porque 0\neq -3.

Passo 4

Usando a propriedade de limites: se duas funções coincidem em todos os pontos de um vizinho de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), então têm o mesmo limite naquele ponto. Como para x próximo de -3 (com x\neq -3) a expressão original é igual a 3x, temos
\lim_{x\to -3}\frac{x+3}{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{3}}=\lim_{x\to -3}3x.
Cálculo do limite da função simples 3x: polinômio é contínuo, então é só substituir x=-3:
\lim_{x\to -3}3x=3\cdot(-3)=-9.
Explicação didática: polinômios e funções lineares são contínuos, então o limite é o próprio valor substituído; aqui usamos isso para avaliar \lim_{x\to -3}3x.

Passo 5

(Mini alternativa para ver de outra forma) Outra maneira é multiplicar numerador e denominador da expressão original por 3x (observe que isso só é válido para x\neq 0, mas o limite em x\to -3 não é afetado):
\frac{x+3}{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{3}}=\frac{(x+3)\cdot 3x}{3x\left(\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{3}\right)}=\frac{3x(x+3)}{x+3}=3x,
novamente levando a \lim_{x\to -3}3x=-9.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a indeterminação \tfrac{0}{0} foi removida por simplificação algébrica (cancelamento do fator comum), e o limite existe e é finito. Se ficou tenso no começo, relaxa: esse tipo de cancelamento é um truque padrão e cai bastante em prova — treina umas duas ou três vezes que fica automático.

Resposta

-9

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