Ache cada limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão a ser analisada é
. - Avaliando por substituição direta em
: - Numerador:
em dá . - Denominador:
em dá .
- Numerador:
- Portanto a forma obtida por substituição é a indeterminada
. - A função original não está definida em
(porque há ) e em (denominador zero). Mesmo assim o limite em pode existir caso haja uma simplificação que remova a indeterminação.
Passo 2
Vamos simplificar o denominador combinando as frações
. Para somar frações, usamos o mesmo denominador comum
:
Explicação didática: ao somar
e
procura-se um múltiplo comum dos denominadores (que é
), reescreve-se cada fração com esse denominador e soma-se os numeradores.
Passo 3
Substituindo essa expressão do denominador na fração original obtemos
Uma fração dividida por outra é multiplicada pelo inverso, logo
Agora vemos o fator comum
no numerador e no denominador do produto; podemos cancelar esse fator desde que
. Após o cancelamento (válido para
) fica
Observação importante: a simplificação produz a função
que coincide com a função original para todo
próximo de
(exceto exatamente em
), e também é necessário lembrar que
é condição original por causa de
. Para o cálculo do limite em
isso não impede a análise porque
.
Passo 4
Usando a propriedade de limites: se duas funções coincidem em todos os pontos de um vizinho de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), então têm o mesmo limite naquele ponto. Como para
próximo de
(com
) a expressão original é igual a
, temos
Cálculo do limite da função simples
: polinômio é contínuo, então é só substituir
:
Explicação didática: polinômios e funções lineares são contínuos, então o limite é o próprio valor substituído; aqui usamos isso para avaliar
.
Passo 5
(Mini alternativa para ver de outra forma) Outra maneira é multiplicar numerador e denominador da expressão original por
(observe que isso só é válido para
, mas o limite em
não é afetado):
novamente levando a
.
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a indeterminação
foi removida por simplificação algébrica (cancelamento do fator comum), e o limite existe e é finito. Se ficou tenso no começo, relaxa: esse tipo de cancelamento é um truque padrão e cai bastante em prova — treina umas duas ou três vezes que fica automático.