47 \lim _{x \rightarrow 5^{+}} \frac{1+\sqrt{2 x-10}}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite lateral
\lim_{x\to5^{+}}\frac{1+\sqrt{2x-10}}{x+3}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é \dfrac{1+\sqrt{2x-10}}{x+3}.
  • A raiz quadrada \sqrt{2x-10} só está definida quando 2x-10\ge0, ou seja, para x\ge5.
  • O limite é pela direita em x=5 (isto é, x\to5^{+}), que é compatível com a condição de domínio x\ge5.
    A pergunta é apenas: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Entendendo o que podemos usar para calcular: limites de funções compostas e operações algébricas com limites.
Regras úteis (explicadas em linguagem simples):
  • Se duas funções têm limite em um ponto, o limite da soma é a soma dos limites; o limite do produto é o produto dos limites; o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero.
  • Funções elementares contínuas (polinômios, raízes quando o argumento é não negativo, soma, multiplicação) permitem trocar limite e aplicação da função: isso é, se g é contínua num ponto a, então \lim_{x\to a} g(x)=g(a).
    No nosso caso vamos usar que a função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em t\ge0 e que funções lineares x\mapsto 2x-10 e x\mapsto x+3 são contínuas em todo lugar. Assim podemos avaliar os limites por substituição direta, desde que o denominador no ponto não seja zero.

Passo 3

Verificação do domínio e do denominador no ponto:
  • Pegou-se que a raiz exige x\ge5; como o limite é x\to5^{+}, estamos sempre em pontos do domínio.
  • Calcular o denominador em x=5:
5+3=8,
e 8\neq0. Portanto não há problema de divisão por zero no ponto de limite.

Passo 4

Calcular o limite da parte interna da raiz e da raiz em si:
A função interna da raiz é 2x-10. Como é uma função linear contínua,
\lim_{x\to5^{+}}(2x-10)=2\cdot5-10=0.
Como \sqrt{\cdot} é contínua em 0 (e no intervalo [0,\infty)), vale
\lim_{x\to5^{+}}\sqrt{2x-10}=\sqrt{\lim_{x\to5^{+}}(2x-10)}=\sqrt{0}=0.

Passo 5

Calcular o limite do numerador usando a regra da soma:
O numerador é 1+\sqrt{2x-10}. Usando que \lim_{x\to5^{+}}\sqrt{2x-10}=0,
\lim_{x\to5^{+}}\bigl(1+\sqrt{2x-10}\bigr)=1+\lim_{x\to5^{+}}\sqrt{2x-10}=1+0=1.

Passo 6

Calcular o limite do denominador e aplicar a regra do quociente:
O denominador tende a
\lim_{x\to5^{+}}(x+3)=5+3=8.
Como o limite do numerador é 1 e do denominador é 8\neq0, pela regra do quociente
\lim_{x\to5^{+}}\frac{1+\sqrt{2x-10}}{x+3}=\frac{1}{8}.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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