46 \lim _{x \rightarrow-10^{-}} \frac{x+10}{\sqrt{(x+10)^{2}}}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite lateral
\lim_{x\to -10^-}\frac{x+10}{\sqrt{(x+10)^2}}.
Informações dadas e o que isso significa:
  • A expressão é \dfrac{x+10}{\sqrt{(x+10)^2}}.
  • A aproximação é por valores de x que vêm da esquerda de -10 (isso é o que indica o expoente {}^- em x\to-10^-).
  • A raiz quadrada \sqrt{(x+10)^2} está sempre definida para todo x\in\mathbb{R} e é não-negativa.

Passo 2

Uma identidade importante e simples que vamos usar é
\sqrt{t^2}=|t|
para qualquer número real t. Explicando isso de forma bem direta: a raiz quadrada retorna o valor não-negativo cuja quadrado é t^2; tanto t quanto -t têm quadrado igual a t^2, mas a raiz escolhe o não-negativo, que é |t|.

Passo 3

Definição do valor absoluto (ou módulo): para qualquer t\in\mathbb{R}\), \[|t|=\begin{cases} t & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t & \text{se } t<0. \end{cases}
Exemplo rápido: |3|=3\] e \(|-2|=-(-2)=2.]

Passo 4

Aplicando as duas coisas acima ao nosso caso com t=x+10, obtemos
\sqrt{(x+10)^2}=|x+10|=\begin{cases} x+10 & \text{se } x+10\ge 0,\\[4pt] -(x+10) & \text{se } x+10<0. \end{cases}]

Passo 5

Como o limite é com x\to -10^-, estamos considerando x menores que -10. Para esses x vale x+10<0. Logo, na vizinhança à esquerda de -10 (exceto no próprio ponto x=-10), tem-se
\sqrt{(x+10)^2}=-(x+10).

Passo 6

Substituindo isso na expressão do limite, para x próximo de -10 e x\neq -10,
\frac{x+10}{\sqrt{(x+10)^2}}=\frac{x+10}{-(x+10)}.
Como x+10\neq 0 para esses x, pode-se cancelar x+10 e obter
\frac{x+10}{-(x+10)}=-1.

Passo 7

Concluímos que, para toda a vizinhança da esquerda de -10 (exceto no ponto), a função vale constantemente -1. Portanto o limite lateral é esse valor constante:
\lim_{x\to -10^-}\frac{x+10}{\sqrt{(x+10)^2}}=-1.

Resposta

-1

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