Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado.
a. f(x, y)=arctan (x y). [resp.: F(x, y)= (y1+x^2 y^2, x1+x^2 y^2)]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um campo vetorial conservativo cujo potencial escalar é dado por f(x,y)=arctan(xy). O conteúdo aqui é reconhecer que, sendo o campo conservativo, ele vem como o gradiente de f, isto é, F=nabla f.

Passo 2

Para achar a primeira componente de F, calculamos partial fpartial x. Como f(x,y)=arctan(u) com u=xy, usamos dduarctan(u)=11+u^2 e partial upartial x=y. Assim,
partial fpartial x=11+(xy)^2cdot y=y1+x^2y^2

Passo 3

Para a segunda componente de F, calculamos partial fpartial y. Novamente u=xy, dduarctan(u)=11+u^2 e partial upartial y=x. Logo,
partial fpartial y=11+(xy)^2cdot x=x1+x^2y^2

Passo 4

Juntando as duas componentes, o campo vetorial conservativo fica F(x,y)=l(y1+x^2y^2,x1+x^2y^2r).

Resposta

F(x,y)=(y1+x^2y^2,;x1+x^2y^2)

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