Calcule as seguintes integrais curvilíneas ao longo de C.
b. integralC(x-y) d x+x d y e C é o gráfico de x=y^3 de (0,0) a (1,1). Resp.: 0

Passo 1

Temos a integral de linha de uma forma diferencial P,dx+Q,dy com P(x,y)=x-y e Q(x,y)=x, ao longo da curva C que é o gráfico de x=y^3 indo de (0,0) até (1,1). O conteúdo é integrais de linha de formas diferenciais e vamos usar parametrização para calcular.

Passo 2

Parametrizamos a curva por y=t, x=t^3 com t variando de 0 a 1. Assim,
dx=3t^2,dt, dy=dt

Passo 3

Substituindo na integral
integralC(x-y),dx + x,dy = integral0^1l[(t^3 - t)(3t^2) + t^3r]dt = integral0^1(3t^5 - 3t^3 + t^3),dt = integral0^1(3t^5 - 2t^3),dt

Passo 4

Agora integramos term a term:
integral0^1 3t^5,dt = 36t^6|0^1 = 12, integral0^1 2t^3,dt = 24t^4|0^1 = 12

Passo 5

Portanto, a diferença é zero e a integral vale 0.

Resposta

0

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