Estude o problema
Passo 1
Temos a equação de difusão não homogênea com condição de contorno de Neumann em 0 e L e condição inicial em t=0. O conteúdo é resolução de PDE via expansão em autovalores do operador Laplaciano unidimensional com Neumann. Vamos precisar conhecer os autovalores e autovetores desse operador e usar séries de cossenos para reduzir a PDE a um sistema de EDOs em t.
Passo 2
Primeiro encontramos os autovalores λₙ e autovetores φₙ(x) da equação de Sturm–Liouville u’’ + λu = 0 com u’(0)=u’(L)=0. As soluções não triviais são φₙ(x)=cos(nπx/L) com λₙ=(nπ/L)² para n=0,1,2,…. Essas funções formam base ortogonal em [0,L] com ∫₀ᴸφₙφₘdx=0 se n≠m.
Passo 3
Expandimos a solução e o termo fonte em séries de cossenos:
Os coeficientes são dados por projeção ortogonal em cada φₙ.
Passo 4
Substituímos essas séries na PDE u_t=K u_{xx}+g e igualamos coeficientes de cos(nπx/L), obtendo para cada n a EDO:
onde λₙ=(nπ/L)². A condição inicial a_n(0) vem da expansão de f(x):
e para n=0 usamos
.
Passo 5
Cada EDO é linear de primeira ordem em aₙ(t). A solução geral é obtida por fator integrante:
Passo 6
Reunindo tudo, a solução do problema é a série de cossenos com esses coeficientes aₙ(t). Essa representação garante que as condições de Neumann e a condição inicial sejam satisfeitas.
Resposta
A solução geral é
com
$$a_n(0)=
g_n(t)=\frac{2-\delta_{n0}}{L}\int_0^L g(x,t)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)dx.$$