Estude o problema
& ut=K ux x+g(x, t), em mathscrR, & ux(0, t)=ux(L, t)=0, para t>0, & u(x, 0)=f(x), para 0

Passo 1

Temos a equação de difusão não homogênea com condição de contorno de Neumann em 0 e L e condição inicial em t=0. O conteúdo é resolução de PDE via expansão em autovalores do operador Laplaciano unidimensional com Neumann. Vamos precisar conhecer os autovalores e autovetores desse operador e usar séries de cossenos para reduzir a PDE a um sistema de EDOs em t.

Passo 2

Primeiro encontramos os autovalores λₙ e autovetores φₙ(x) da equação de Sturm–Liouville u’’ + λu = 0 com u’(0)=u’(L)=0. As soluções não triviais são φₙ(x)=cos(nπx/L) com λₙ=(nπ/L)² para n=0,1,2,…. Essas funções formam base ortogonal em [0,L] com ∫₀ᴸφₙφₘdx=0 se n≠m.

Passo 3

Expandimos a solução e o termo fonte em séries de cossenos:
u(x,t)=sumn=0^infty an(t)cosl(tfracnpi xLr), g(x,t)=sumn=0^infty gn(t)cosl(tfracnpi xLr)
Os coeficientes são dados por projeção ortogonal em cada φₙ.

Passo 4

Substituímos essas séries na PDE u_t=K u_{xx}+g e igualamos coeficientes de cos(nπx/L), obtendo para cada n a EDO:
an'(t)+K,lambdan,an(t)=gn(t),
onde λₙ=(nπ/L)². A condição inicial a_n(0) vem da expansão de f(x):
an(0)=2Lintegral0^L f(x)cosl(tfracnpi xLr)dx(n>=1),
e para n=0 usamos a0(0)=1Lintegral0^L f(x)dx.

Passo 5

Cada EDO é linear de primeira ordem em aₙ(t). A solução geral é obtida por fator integrante:
an(t)=e^-Klambdan tl(an(0)+integral0^t e^Klambdan s,gn(s),dsr)

Passo 6

Reunindo tudo, a solução do problema é a série de cossenos com esses coeficientes aₙ(t). Essa representação garante que as condições de Neumann e a condição inicial sejam satisfeitas.

Resposta

A solução geral é

com
$$a_n(0)= u(x,t)=sumn=0^infty e^-K(tfracnpiL)^2 tnobracketBigl(an(0)+integral0^t e^K(tfracnpiL)^2 s,gn(s),dsr)cosl(tfracnpi xLr),\quad
g_n(t)=\frac{2-\delta_{n0}}{L}\int_0^L g(x,t)\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)dx.$$

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