Define-se o operador
. Se
opera sobre
produz uma função escalar chamada de Laplaciano de f, dada por
. Mostre que o Laplaciano da função
é zero, ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace
. Funções que satisfazem a equação de Laplace são chamadas de funções harmônicas e desempenham papel importante nas aplicações físicas.
Passo 1
Nessa questão, queremos mostrar que o Laplaciano de
satisfaz
, usando o operador definido como
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Passo 2
Definindo
, aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas de primeira ordem de
:
analogamente
e
.
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
, usando regra do quociente e cadeia:
De modo análogo,
$$\frac{\partial^2 f}{\partial y2}=\frac{r2 - y2}{r3},\quad
\frac{\partial^2 f}{\partial z2}=\frac{r2 - z2}{r3}.$$
Passo 4
Somando as três segundas derivadas obtemos:
Passo 5
Portanto, chegamos a
, que não é zero. Logo, a função
não satisfaz a equação de Laplace
.