Define-se o operador nabla^2=nabla cdot nabla=partial^2partial x^2+ partial^2partial y^2+partial^2partial z^2. Se nabla^2 opera sobre f(x, y, z) produz uma função escalar chamada de Laplaciano de f, dada por partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+ partial^2 fpartial z^2. Mostre que o Laplaciano da função f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 é zero, ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace nabla^2=0. Funções que satisfazem a equação de Laplace são chamadas de funções harmônicas e desempenham papel importante nas aplicações físicas.

Passo 1

Nessa questão, queremos mostrar que o Laplaciano de f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2 satisfaz nabla^2 f=0, usando o operador definido como nabla^2=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2+partial^2partial z^2. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f.

Passo 2

Definindo r=raizx^2+y^2+z^2, aplicamos a regra da cadeia para obter as derivadas de primeira ordem de f:
partial fpartial x=12raizx^2+y^2+z^2cdot2x=xr,
analogamente partial f/partial y= y/r e partial f/partial z= z/r.

Passo 3

Agora derivamos partial f/partial x = x/r em relação a x, usando regra do quociente e cadeia:
partial^2 fpartial x^2 =partialpartial xgl(xrgr) =r - x,(x/r)r^2 =r^2 - x^2r^3
De modo análogo,
$$\frac{\partial^2 f}{\partial y2}=\frac{r2 - y2}{r3},\quad
\frac{\partial^2 f}{\partial z2}=\frac{r2 - z2}{r3}.$$

Passo 4

Somando as três segundas derivadas obtemos:
nabla^2 f =r^2 - x^2r^3+r^2 - y^2r^3+r^2 - z^2r^3 =3r^2 - (x^2+y^2+z^2)r^3 =2r^2r^3 =2r

Passo 5

Portanto, chegamos a nabla^2 f=2/r, que não é zero. Logo, a função f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2 não satisfaz a equação de Laplace nabla^2 f=0.

Resposta

nabla^2 f = 2raizx^2+y^2+z^2, portanto diferente de zero.

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